Numeros Complejos

87

=) Jr(A)
Por tanto, A = &,

4,7..

son raíces de Jo

(r)

Asi. enlonces, las soluciones d? (1) son: It" (r) = tt,i,,('7,,r)
De la ecuación (2). la solución es:

'i"Q)- dne"'+'
Y la solución de ia EDP
es:

ul.r,t l= LLtn(
t=l

é

-':'¿Jt'lt'\

io(^,r)

Usantio la condición inicial, se tiene:

J

U)=fa,J r{A"r)

qtre es una serie

c1e

Bessei' por tarrto:Lt,,

=;-:-.i
| ,r, (4,

1i

)l

r¡ t,)JolÁ,r)dr
;,

ilIAPEO CONF'ORIVIB
de e'i;ija' una clase lnu)'particul¡r cie ellas clue sorl Dentro de !as luncrones complejas, eriste probiemas de ¡rotencial' llamadas Mapa's Cotrior;tles' entre otras cosas, en la resoiuciór, de pol da¡ un repaso de algunos conceptL\s para revisar este tlpo de aplicaciones, empecemos tári.ot detttro de laI'ariable cornpleja' Repaso de núnleros comPlejos

UnnúrnerocompleSo z esulraparejao*lenarie. conjunto de los números complejos:

z=(cr't;) con t 1'ó'núiirel'ilsreales' Enel

c = {(n, g)ln,á e R}
Se definen 3 oPeraciones basicas:

)"2 = Producto por escalar: 7 = (a,b), 2 e lR =>

\)'a' Lb) a''br+b^) Adición: r, = (o,,b,), r.=(n-,b-): :' I z.=(ar+
N'fultiplicación: z' = (or,br),'= ==(n"ó.)"

ztz^ = (,ctra

- b'b"'a'b' + a'b')
E,cuaciones Dif-erenciales I'¿uci¡1 cs

Mat. Mátihc¡ Unirl¡ M'

E.jemplo"- Sa.rn, a\ /^ - --r -/-, ir,r/, s- = (J.

/L

;";, = (t O, r :)
--.
-1.

:.
.-

= 15.2

)

:,;.
-

í9
\-''l'

7'¡

f)bser-vación._ a la primera com¡lonente cle un númeio comple-io se ie denorrrina parle Re(;) =a) y la segunda cornponente, reaj ( paüeimaginaria (im(;)=á). Se cienomrna nijrr:sro o aquei que está compuesto sólo por laparre rmaginaria, ,:'ffii:T:oo*o cs decir su parlc
rcai

Cuerpo de los lrrinreros cornple.ios
Los núrneros complejos forma¡r un cuerpo, denota,lo rl . Si se identiítca el número reaj el complejo (o'0)' el cuerpo it con cle los nú-".o. realqs R aparece corno ru"¡ subcueqro {re ii-.. Más aú¡- C es un espacrovectona_l de dimensión 2 sob¡e los reales llag quc de los números complejos no noiar qire el es o¡dena.jo co,rro-o'io ;J;I" er cuerpo crc r's rir.lrliirí.,s

",

lJnirled irnaginnria:
er1 cuenra que (r2,0) '(0'u '= (tl,a¡. se defrne en nú;.ero especiai cn nratemátic¡s gran inrpoi-tancia. el número i o unidad irnaginarias. ..leflnido

Tomando

rJe

coínc).

1

_(0.1)

De donde se dqlucefácilmente que,

i' =i i = (o,t) {o,r) = (_r,o; = _1
Con *ste va)or imaginario se tiene que url numero conrplejo puede reDiesenla.¡-se e¡r la Ibinl:r

:

=

(

a,b\

=a+

ib donde i = .rf]

Rep

resentarión carf.esiana

Como Jos núnieros complejo se definen a de pareja-s ordenadas. estír-c un plano carresiano. donde se pur,:den _:: la ljlét cornponente pümera ;-:li"t"|,y (llamadononzontal se lo representa en el e-¡c eje real) y l" ,*gurr¿u cornponente en cl eje rcrlical (llanraclo rnraginario)
cte

llcuaciones Lri lsrcnciales Parcialcs lvfat. Mé¡tllor Ur..¡ra M.

89

bf
I I

:¡

;l

I

a.fr

Valor absoluto o módulo' Argumento y Conjugado
El valor absoluto o módulo de r-m número complejo z, se denota)'define ¡ror. l=l= J tt = U/Re'

| -,-------* (:)+ Itn-

\z ) =

^,1

r- + b' u'

Si se relaciona en las coordenadas carlesianas del número complejo z como un punto en el plzuro, el nlódulo del número complejo es la drstancia euclídea descie ei origen del plano a dicho oturto.

Se puecle comprobar con

facilidad estas cu¿:iro imponantes propiedades ^/-\

- Itel ' rt

llz-¡;)') '-

I z+¡i )

l

li\l = n.i f li_lj¿ lr1.: rl2+3i
)\.2+3t.) Li f 4(, ()l Rel -:13 L 13 --i j
I

.,\

|

=
rfrl

_!9
t-t
I

( tz-3i)' ) ' t:/ = lnll '-2+3i [ )
= Inl!

,

. t.16 e.l ..'t r3 13'_l
-13
Ejemplo.- Probar que

I(e-3i)')f 2*3i)l l:jll --ll 2+3i )\z+tt)l Lf.

lm(z')* (im(z))'

Solución. Usando representación polar, se tiene:

É.*"ion",

Difqenciaies Parcra.lq; Mat. Ménthor Llrvrna M.

rm(z')...