Nykuist

Sistemas Lineales II

Unidad

8
DIAGRAMA DE
NYQUIST

Material de apoyo

Indice
1. Introducción.
2. Del principio del argumento al criterio de Nyquist.
3. Sistemas de primer grado.
4. El circuito integrador.
5. Sistemas de segundo grado.
6. Sistemas de tercer grado.
7. Márgenes de ganancia y fase.
8. Ganancia de lazo y transferencia entrada-salida.
9. Diagramas de Flujo de Señales.
10. Análisisde un sistema realimentado no ideal.
11. Consideraciones sobre apertura del lazo.
12. Compensación de sistemas realimentados inestables.
13. Recapitulando

1. Introducción.
La definición de estabilidad adoptada y los criterios de equivalencia nos permiten decidir si
una transferencia dada corresponde a un sistema estable o inestable.
Basta ubicar la posición de los polos de esa transferencia parasaberlo.
Este es un criterio de estabilidad absoluto: es decir, nos informa si un sistema es estable o
no.
Muchas veces no alcanza con esa información: es necesario saber si un sistema es estable,
cuán cerca está de dejar de serlo.
Con ese propósito, y para tener una visión más completa del problema se han desarrollado
otros criterios, de los cuales en el presente módulo analizaremos el criterio deNyquist.

2. Del principio del argumento al criterio de Nyquist.
De la definición de estabilidad y la condición N y S vista, sabemos que la transferencia no
puede tener polos en el semiplano derecho Re(s) ≥ 0.
Sea el diagrama de bloques:
E, de Error
R, de Referencia
C, de salida Controlada

¿Cuál es la transferencia del sistema realimentado?
E = R-βC
C = AE

⇒ C = A(R-βC) = AR-AβC ⇒ C =

A
R
1 +Aβ

C
A
=
R 1 + Aβ
Aβ tiene una interpretación concreta: es la ganancia del lazo abierto (open loop gain):
anulamos R, abrimos el lazo en cualquier punto, inyectamos una señal 1, y ¿qué
obtenemos? -Aβ.
La transferencia del sistema realimentado es pues: W =

Unidad 8: Diagrama de Nyquist

129

A
1 + Aβ
Los polos de W son los ceros de 1+Aβ. (En caso excepcional, también un polo de A si es
un cerode β. Pero esta condición es muy difícil de realizar en la práctica).
Se trata de hallar un método gráfico para detectar ceros (y polos) de 1+Aβ en el semiplano
derecho.
W=

Para ello, recordemos algunos resultados de funciones de variable compleja.
1) Si una función f(s) en una singularidad aislada so tiene un desarrollo de Laurent:
a −2
a
En un entorno:
f ( s) =....+
+ −1 + a o + a1 (s − so)+....
2
( s − so ) s − so
a-1 es el residuo de f(s) en so.
2) Si tomamos una curva cerrada que rodee a so.
Consideramos ∫ f ( s)ds
C

Todos los términos se van al integrar,
a −1
salvo el
, cuya integral vale el residuo por el incremento del logaritmo, que es j2π
s − so
veces las vueltas que la curva rodea a so.
1
Más general:
f ( s)ds = ∑ ni ri
ri, residuo en punto singular si
j 2π ∫C
en los polosque
ni, nº de veces que C rodea a si.
quedan dentro de C
3) Si ahora consideramos:
1
f ′( s )
ds = ∑ ni N i − ∑ p i Pi
∫
j 2π C f ( s )
Z
P
ni, nº de veces que C rodea a un cero de multiplicidad Ni
pi, nº de veces que C rodea a un polo de multiplicidad Pi
Sale de que si p ej s = a es un cero de orden m:
f(s) = (s-a)mϕ(s), con ϕ(s) regular
ϕ ′ ( s)
f ′ ( s)
m
=
+
f ( s) s − a ϕ ( s)
f ′ ( s)
Entonces,para
, s = a es un polo simple y el residuo es m.
f ( s)
f′
Análogamente, si s = b es un polo de orden k, se ve que
tiene un polo simple en s = b,
f
con residuo -k.
4) La misma integral tiene otra interpretación:
1
f ′ ( s)
1
ds =
∆ log f ( s)
∫
j 2π f ( s)
j 2π
Mientras s se mueve sobre C, f(s) se mueve sobre Γ; decimos que C (plano s) se mapea en
una curva Γ del plano f(s).
Y el 2º miembro esel número de vueltas (antihorarias) que Γ da respecto al origen.
Ahora apliquemos estas herramientas al problema que nos interesa.
f = 1+Aβ
Queremos saber cuantos ceros tiene en el semiplano derecho.
Unidad 8: Diagrama de Nyquist

130

Tomamos en el plano s una curva así:

En el plano de 1+Aβ, tendremos una curva Γ.
Contamos las vueltas que da respecto al origen. Son: Z - P.
Si sabemos (o...