Números Complejos

Números Complejos

Unidad imaginaria ( i )

Definición: { si i2=-1 → i = [pic] }

Potencias de i:

i = [pic]

i2= -1

i3= i2* i = - i

i4= i2* i2= 1

Un número complejo es un número formado por una parte real y una parte imaginaria, es de la forma z = a + bi

Ejemplo z = 2 + 3 i z = 7 – 2 i z= ½ + ¾ i

Un complejo se escribe también como par ordenado z = (a ,b)en que a indica la parte real y b la parte imaginaria.

Ejemplo: z =( 2, 3) z = (7 , 2) z=( ½ , ¾)

En los pares ordenados no se escribe el imaginario i el lugar que ocupa el número en el par ordenado indica si es la parte real o la parte imaginaria.

Definición: { z1 = z2 } ↔ { a1 = a2 Λ b1 = b2 }

Dos complejos son iguales si y sólo si las partes reales son igualesentre si y las partes imaginarias son iguales entre si.

Ejemplo: determine el valor de m y n en la igualdad de complejos

( m + n ; m – n ) = ( 2 ; -6 ), Por definición

m + n = 2

m – n =-6 sumando, se tiene 2m = -4 por lo tanto m = -2 Λ n = 4

Definición: Complejo conjugado. Dado un complejo z = a + bi entonces su conjugado es [pic]= a – bi

Ejemplo: dado z = 5 -7i entonces suconjugado es [pic]= 5 + 7i cambia el signo de la parte imaginaria.

OPERACIONES CON COMPLEJOS

Adición y sustracción de complejos.

Para sumar o restar dos números complejos se suman o restan sus partes reales entre si y se suman o restan sus partes imaginarias entre si.

Sea z1 = a + bi y z2 = c + di entonces z1 + z2 = ( a+c ) + (b + d ) i Sea z1 = a + bi y z2 = c + di entoncesz1 - z2 = (a -- c ) + (b -- d ) i

Sea z1 = 4 + 3i y z2 = 5 + 7i entonces z1 + z2 = ( 4+5) + (3 + 7 ) i

z1 + z2=9 + 10i

Sea z1 = 4 + 3i y z2 = 5 + 7i entonces z1 - z2= ( 4--5) + (3 -- 7 ) i

z1 - z2= -1 – 4i

Multiplicación de complejos:Para multiplicar dos números complejos se multiplican como dos binomios, es decir, se efectúa el producto término a término cuidando de sustituir i2= -1.

Sea z1 = a + bi y z2 = c + di → z1 . z2 = ac + bc i + ad i +bd i2

z1 . z2 = (ac –bd) + (ad + bc ) i

Ejemplo. Sea z1 = 4 + 3i y z2 = 5 + 7i

z1 . z2 = 20 + 28 i + 15 i+21 i2

z1 . z2 = -1 + 43 i

División de complejos:

Para dividir dos números complejos se amplifica la fracción por el conjugado del divisor .En el numerador se efectúa el producto término a término cuidando de sustituir i2= -1 y en el denominador se efectúa el producto de suma por diferencia, cuidando de sustituir i2= -1.

Ejemplo. Sea z1 = 4 + 3i y z2 = 5 +7i

z1 : z2 =[pic]

Forma Polar de un Número Complejo.

Si representamos gráficamente el complejo z= a + bi podemos visualizar la siguiente situación.

Existe un largo de la flecha, que

recibe el nombre de MODULO

del complejo .

Existe un ángulo X ubicado entre la flecha y el eje de las abscisas al que habitualmente se le denomina por la letra griega “[pic]”.

Existen loscuocientes b/r= sen [pic] y a/r= cos[pic] de los cuales se puede despejar “a” y “b” obteniendo a = r sen[pic] y b= cos[pic]. Si sustituimos estos dos valores en z= a + bi obtenemos z = rcos [pic] + r sen [pic]i. Lo que se denomina forma polar del número complejo. Este complejo usualmente se abrevia z = rcis[pic] ( r delmódulo; c de coseno; s de seno y la i de imaginario)

Ejemplo: sea el complejo z1 = 3 – 4i

En este complejo el valor de a=3 y el valor de b es negativo b=-4. Si es positivo y b es negativo entonces el complejo está en el cuarto cuadrante, es decir, el ángulo es del cuarto cuadrante. Su gráfico es:

Una vez que tenemos ubicado el complejo en el plano, efectuamos los siguientes...