Números Complejos

Números
Complejos

Lic. Pedro Santo
Rguez.

Contenidos
-Origen de los números complejos
-Concepto de número complejo.
-Cantidades imaginarias.
-Potencias de i.
-Formas de expresión de números complejos.
-Cambio de una forma de expresión a otra.
-Operaciones con números complejos.

Un poco de historia
El gran matemático Diofanto (275 d.c.) construyó un triángulo con una
cuerda en la que habíarealizado 12 nudos (equidistantes). Los lados
medían 3, 4 y 5 unidades.
Evidentemente el triángulo es rectángulo, cumple el teorema de Pitágoras:
32 + 42 = 52
Al ser un triángulo rectángulo es fácil comprobar que el área es 6 unidades
cuadradas.
Con la misma cuerda trató de construir otro triángulo rectángulo de forma
que su área fuese 7 unidades cuadradas.
Su planteamiento fue el siguiente:
Uncateto mediría x y como el área debía ser 7, el otro cateto sería 14/x.
La hipotenusa debe cumplir el teorema de Pitágoras:

Por otra parte la suma de sus lados debe ser 12:
Por tanto se debe cumplir la ecuación:
De donde se llega fácilmente a:
Cuya solución se puede expresar como:
Pero no conocía ningún número que elevado al cuadrado
fuese igual a –1, por tanto, el problema no tenía solución.
Esteproblema planteado por Diofanto tardaría siglos en
resolverse.

En el siglo XVI Rafaello Bombelli fue uno de los primeros
en admitir que era útil que los números negativos tuviesen
raíces cuadradas.
A mediados del siglo XVI, el filósofo y matemático italiano
Gerolamo Cardano y sus contemporáneos comenzaron a
experimentar con soluciones de ecuaciones que incluían las
raíces cuadradas de númerosnegativos. Por ejemplo,
Cardano sugirió que el número real 40 se puede expresar
como:
En 1777 el matemático suizo Leonhard Euler (1707 - 1783)
simbolizó la raíz cuadrada de –1 con la letra i (por imaginario).

¿Por qué fue necesario ampliar R?
Los números naturales son 1, 2, 3,..
Los números enteros aparecen cuando queremos hacer
operaciones del tipo 1–2, que no tienen sentido en N. Los
númerosenteros (Z) son 0, 1, –1, 2, –2,...
Los números racionales surgen cuando intentamos hacer
algunas divisiones como 1/2. Los números racionales (Q) son

Los números racionales también se pueden escribir como números
decimales.
Los números irracionales son los números decimales que no
son racionales. Estos números aparecen al calcular raíces
como:

El conjunto formado por la unión de racionales eirracionales
se llama R y son los números reales.
reales
Sin embargo no existe ningún número real que multiplicado
por si mismo reproduzca un número negativo, por ejemplo
que se llama unidad imaginaria y cualquier expresión de este
tipo la llamamos cantidad imaginaria.
Para resolver este problema fue necesario ampliar el
conjunto de los números reales. Llegamos así a los números
complejos, que serepresentan por C. ¿Cuál sería la
solución al problema de Diofanto? ¡Termínalo!
Veamos una propiedad fundamental de i: i2 = (0,1)·(0,1) =
=(0-1,0+0) = (-1,0) = -1, de donde i = 

Ejemplos. Simplificar las siguientes cantidades imaginarias:

Los números complejos se definen entonces como la unión
de un número real y otro imaginario. Esto es:
¿Qué sería un niño complejo?
Se pueden expresar de lassiguientes formas:
• (a + bi), binómica, con a y b εR e i la unidad imaginaria; a
es la parte real y b es la parte imaginaria.
• (a, b) canónica
• r (cos α + i sen α), trigonométrica
•

, polar

Un número complejo de la forma (a, o) se llama real puro o
real y de la forma (0, b) se llama imaginario puro.
De la definición anterior podemos afirmar que: el producto de
un número imaginario puro por unoreal es otro imaginario
puro.
Potencias de i
Vamos a calcular todas las potencias de i (in) desde n= -10
hasta n=10 y sacar alguna conclusión.
i0 = 1,  i1 = i,  i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1,  i5 = i,...
ordenando los resultados desde n = -10 hasta n = 10
tenemos:
-1, -i, 1, i, -1, -i, 1, i, -1, -i, 1, i, -1, -i, 1, i, -1, -i, 1, i, -1
La conclusión más elemental es que cualquier potencia de i
es –1, –...