Obra

DEFLEXIONES EN SISTEMAS ELÁSTICOS

Ecuación diferencial de la elástica (Ecuación fundamental)

d2y dx 2

M EI

donde el primer miembro de la ecuación indica la curvatura del eje de la pieza, el signo menos proviene de la convención de considerar positivo el momento flexionante que produce compresión en las fibras superiores y tensión en las fibras inferiores.

d3y dx 3

V EI

dMdado que dx

V

d4y dx 4

q EI

dV dado que dx

q

donde q se considera positiva actuando hacia arriba

EJEMPLO. Obtención de la ecuación de la elástica de la viga en voladizo, sometida a una carga uniformemente distribuida w, mostrada en la figura

Se obtiene el equilibrio externo por estática y se determinan los valores de las reacciones

Se obtiene la expresión de variacióndel momento a lo largo del elemento

Mz

0, M z wl 2 2

wl 2 2 wx 2 2

wlx

wx 2 2

0

Mz

wlx

Remplazando la distribución del momento en la ecuación de la elástica

d2y dx 2 d2y EI 2 dx wl 2 2

M EI M

M

wx 2 2

wlx

M

wl 2 2

wx 2 2

wlx

Integrando ambos miembros de la ecuación

dy EI dx

wl 2 x 2 dy 0, dx

wx 3 6

wlx 2 2

C1

para x

0C1

0

Integrando nuevamente ambos miembros de la ecuación

dy EI dx

wl 2 x 2

wx3 6

wlx 2 2

EI y

wl 2 x 2 4 0, y

wx 4 24 0

wlx 3 6 C 0

C

para x

Finalmente, la variación de la deformada o deflexión de la viga en voladizo, ante carga uniformemente distribuida w, es:

y

1 wl 2 x 2 EI 4

wx 4 24

wlx 3 6

La flecha máxima se obtiene cuando x = l,porque se estima que es el punto mas alejado del empotramiento

y

1 wl 2 x 2 EI 4

wx 4 24

wlx 3 6

Sustituimos x = l

ymax

1 wl 2l 2 EI 4 wl 4 6 EI 24 wl 4 3 EI 24 wl 4 8 EI

wl 4 24 1 24 4 24

wll 3 6

ymax

EJEMPLO Sea la viga mostrada en la figura, sometida a una carga uniformemente distribuida, calcular las reacciones y la distribución de la deflexión o la deformada.0

x Mz

l 0 R1 x R1 x wx 2 2 2 wx 2 0

Mz Mz

Substituyendo la variación del momento en la ecuación diferencial de deflexión se tiene

d2y EI 2 dx

M

R1 x

wx 2 2

Integrando ambos términos

dy EI dx

R1 x 2 2

wx 3 6

C

Por simetría, cuando x = l,

dy dx

0

0

R1l 2 2
R1l 2 2

wl 3 6
wl 3 6

C

C

Substituyendo C e integrando nuevamente setiene

dy EI dx

R1 x 2

2

wx 6

3

R1l 2

2

wl 6

3

EI y

R1 x 3 6

wx 4 24

R1l 2 2

wl 3 x 6

C1

para x = 0, y = 0, C1=0

EI y

R1 x 3 6

wx 4 24

R1l 2 2

wl 3 x 6

C1

Por otro lado, para x = l, y = 0, de donde se puede obtener la reacción R1

EIy

R1 x 3 6

wx 4 24

R1l 2 2

wl 3 x 6

0

R1l 3 6 R1l 3 6 1 6 1 6 1 2 3 6 1 4 wl 8wl 4 24 wl 4 24 wl 4

R1l 2 2 R1l 3 2 1 24 1 24

wl 3 l 6 wl 4 6 1 6 4 24

0

R1l 3

R1l 3

wl 4

1 3 R1l 3

R1

3 wl 8

Por equilibrio de fuerzas respecto al eje y se tiene:

Fy

0 , R1

R2

R3

w2l

0

Fy

0 , R1

R2

R3

w2l

0

Por simetría se tiene que

R1

R3

R1 2 R1

R2 R2

R1 2wl

2wl 0

0

R2

3 2 wl 8

2wl

10 wl8

Finalmente, la variación de la deflexión es

y

1 EI

3 x3 wl 8 6 wlx 3 16 wlx 3 16

wx 4 24

3 l2 wl 8 2 3wl 3 16

wl 3 x 6

y

1 wx 4 EI 24 1 wx 4 EI 24

wl 3 x 6

y

wl 3 x 48

La deflexión máxima se obtiene cuando la pendiente de la deformada es cero

dy dx wx 3 6 x3

1 4 wx 3 EI 24 3wlx 2 16 18lx 2 16

3wlx 2 16 wl 3 48 x3 6

wl 3 48 3lx 2 16

0

l348

0

6l 3 48

0

x3

9l 2 x 8

l3 8

0

Los valores de las raíces, solución del polinomio, donde se ubica la deflexión máxima positiva y negativa, respectivamente, son

x

0.4215l , x

l

Remplazando el valor de , en la variación de la deflexión, se tiene la flecha máxima positiva (curvatura hacia abajo)

y máx

1 wx 4 EI 24 wl 4 0.00542 EI

wlx 3 16

wl 3 x...