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APLICACIONES DE LA DERIVADA EN OPTIMIZACION
Juan Espinoza B. Profesor de Matemática
Facultad de Agronomía - Universidad de Concepción

INTRODUCCION
Optimizar es un problema matemático con muchas aplicaciones en el “mundo real”.
Consiste en encontrar los máximos o mínimos de una función de una o varias variables, con
valores en una determinada región del espacio multidimensional.
En casitodas las situaciones de la vida cotidiana se requiere “optimizar algo”. En
efecto, los responsables por la toma de decisiones en los más variados campos de la
actividad humana se enfrentan, cotidianamente, con ese tipo de necesidad.
Son considerables las aplicaciones en el área de optimización, entre otras
mencionamos las siguientes: Lanzamiento de satélites, diseño de circuitos eléctricos,control de producción, inventarios y asignación óptima de recurso en la teoría moderna de
finanzas.
Muchas veces, la clase de problema, la demanda de resultados precisos o la propia
curiosidad permiten formalizar variables, restricciones y objetivos, de tal forma que surge
la naturaleza matemática del problema.
En este artículo sólo se considerará, el caso de una función con una variable.FUNDAMENTOS TEORICOS
A continuación se dan algunas definiciones y se enuncian algunos teoremas, sin
demostración.
DEFINICIÓN DE EXTREMOS
Sea f una función definida en un intervalo I que contiene a c.
f (c ) es el mínimo de f en I si f (c )
f (c ) es el máximo de f en I si f (c )

f (x)
f (x)

x I
x I

El máximo y el mínimo de una función en un intervalo, se llaman valores extremos
oextremos de la función en ese intervalo.

DEFINICIÓN DE VALOR CRITICO
Diremos que x0 es un valor crítico de f si y sólo si f ´( x0 ) = 0 , o bien, si la
derivada no existe en x0 .
Los máximos o mínimos de una función que ocurren en un valor crítico, se llaman
máximo y mínimos relativos de la función.

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TEOREMA 1:
Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b], entoncesf tiene un
máximo y también un mínimo en ese intervalo. El máximo y el mínimo de una función
en un intervalo cerrado, se llaman máximo y mínimos absolutos.

PROCEDIMIENTO PARA IDENTIFICAR LOS PUNTOS MÁXIMOS Y MINIMOS
ABSOLUTOS
Si se tiene la función continua f definida en el intervalo cerrado [a, b]. Para hallar
los máximos y mínimos absolutos de f.
1º)

Localice todos los valorescríticos de f que se hallen dentro del intervalo [a, b]. Es
decir, se deben encontrar los valores de x0 en el intervalo [a, b], tal que f ´( x0 ) = 0 ,
o bien donde, f ´( x0 ) no exista.

2º)

Calcule f (a ) , f (b) y f (x0 ) para todos los valores críticos x0 ∈ [a, b]. Compare
estos valores de f. El máximo absoluto es el mayor de estos valores y el mínimo
absoluto es el menor de ellos.
Puedeocurrir entonces, que un máximo (o
mínimo) absoluto coincida con un máximo (o mínimo) relativo de una función.

Con el siguiente ejemplo, se ilustra el procedimiento para determinar los puntos
máximos y mínimos absolutos de una función.
Consideremos la función continua f ( x ) =
1º)

x3
3

-7x
2

2
+ 6 x + 5 en el intervalo 2

x

10 .

Al calcular la primera derivada e igualar acero, se obtiene
f ,( x ) = x 2

f , (x0 ) = 0

- 7 x + 6 = ( x - 6 )( x - 1) ,

x0 = 6

x0 = 1

El único valor crítico dentro del intervalo [2, 10] es x0 = 6
2º)

Los valores de f(x) en los puntos extremos del intervalo son:
f (2 ) =

23
3

-

7 (2 )2
+ 6 (2 ) + 5 = 5 2
3
2

y

Evaluando f en x0 = 6, se obtiene f (6 ) =

f (10 ) =
63
3

10 3
3
2

- 7 (6 )2

2

- 7 (10 )
2

+ 6 (10 ) + 5 = 48 1
3

-

+ 6 (6 ) + 5 = 13 .

Al comparar f (2 ), f (6 ) y

f (10 ) , se observa que el mínimo absoluto es el punto
1
(6,-13) y que el máximo absoluto es el punto ( 10 , 48 ) .
3

18

y
(10, 48 1 )
3
Máximo absoluto

0

2

10

x

(6, -13)
Mínimo Absoluto

Figura 1. El máximo y el mínimo absoluto de
f (x) =

x3
3...