Olimpiada

| OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FÍSICA |
| Problemas resueltos y comentados por:José Luis Hernández Pérez y Agustín Lozano Pradillo |
XXXVI OLIMPIADA DE FÍSICA – ESPAÑA, 2005 |

I.-UN SATÉLITE DESAFORTUNADO
La mayoría de las maniobras orbitales en una nave espacial consisten en cambios de velocidad a lo largo de la dirección de vuelo, con la finalidad de alcanzar órbitas mayores o defrenado cuando se produce reentradas en la atmósfera. En este problema se estudia las variaciones orbitales cuando el empuje del motor se aplica en dirección radial.
Para obtener valores numéricos se utilizará: Radio de la Tierra, RT = 6,37.106 m, gravedad en la superficie terrestre g =9,81 m/s2, día sideral To = 24,0 horas.

Consideramos un satélite geosincronizado (su periodo de revolución es To=24 h) de masa m , colocado en una órbita ecuatorial de radio ro. Este satélite dispone de un “motor apogeo” el cual proporciona un empuje tangencial necesario para alcanzar la órbita final.

Cuestión 1
1.1.- Calcular el valor numérico de ro.
1.2.- Encontrar la expresión analítica de la velocidad vo del satélite en función de g, RT y ro y calcular su valor numérico.
1.3.-Obtener la expresiónde su momento angular Lo y de la energía mecánica Eo en función de vo , m , g y RT.
Una vez que se ha alcanzado la órbita circular sincronizada (ver figura F-1), el satélite ha sido estabilizado en el lugar deseado, y esta siendo preparado para realizar su misión, pero un error de los controladores de tierra origina que el motor apogeo se encienda de nuevo.
v0
v
r0
F-1

El empuje sedirige hacia el centro de la Tierra y origina una indeseada variación de velocidad v en el satélite, el cual se caracteriza por el cociente =v/vo. La duración del encendido del motor es despreciable con cualquier otro tiempo orbital por lo que se considera instantáneo.
Suponga que <1
Cuestión 2

2.1.- Determinar los parámetros de la nueva órbita (utilice la ayuda al final del problema) ,semi-latus-rectum l, y excentricidad  , en función de ro y 
2.2.- Calcular el ángulo  entre el eje mayor de la nueva órbita y el vector de posiciónen el punto del empuje accidental.
2.3.- Encontrar la expresión analítica del perigeo r min y apogeo rmax respecto del centro de la Tierra, en función de ro y  y calcular sus valores numéricos cuando  = ¼.
2.4.- Determinar el periodo de lanueva órbita, T, en función de To y  y calcular su valor numérico para  = ¼.

Cuestión 3

3.1.- Calcular el valor mínimo de esc necesario para que el satélite abandone el campo gravitatorio terrestre.
3.2.- Calcular en este caso la mínima distancia del satélite al centro de la Tierra en la nueva trayectoria de escape, ra min en función de ro

Cuestión 4 ( suponer que > esc)F-2
v0
v
v
b

r0
4.1.- Determinar la velocidad residual en el infinito en función de vo y .

4.2.- Obtener el parámetro de impacto b, en la dirección asintótica de escape en función de ro y . (ver figura F-2)



4.3.- Determinar el ángulo  de la dirección de escape asintótico en función de . Calcular su valor numérico para  = 3/2  esc.
Ayuda

Bajo la acción de fuerzascentrales que obedecen a la ley del inverso del cuadrado, las trayectorias son elipses, parábolas o hipérbolas, con la aproximación de m<< M , siendo M la masa gravitatoria de uno de lo focos. Si se toma como origen este foco, la ecuación polar de estas curvas se puede escribir como (ver figura F-3)

m

M
r
F-3

En la que l es una constante positiva que recibe el nombre desemi-latus-rectum y  es la excentricidad de la curva. En función de constantes del movimiento

Donde G es la constante de la gravitación de Newton, L es el módulo del momento angular de la masa que orbita, con respecto al origen y E su energía mecánica, siendo la energía potencia nula en el infinito-
Se presentan los siguientes casos

i) Si la curva es una elipse (circunferencia cuando  =0)...