Ondas estacionarias de una cuerda

Ondas estacionarias en una cuerda
Objetivo:
Estudiar las magnitudes que intervienen en las ondas transversales de una cuerda

Fundamento teórico
Escrita de forma diferencial una onda tiene la ecuación de la forma:
(1)

En el caso de una onda transversal de una cuerda la velocidad es (siendo T la tensión y su densidad lineal):
(2)

Una de las soluciones de laecuación diferencial es:
(3)

Puesto que una onda estacionaria se considera como la superposición de dos ondas iguales que viajan en la misma dirección y sentidos opuestos con un desfase de , al superponerlas obtenemos la siguiente ecuación de onda:
(4)
Dependiendo la amplitud solo del espacio y no del tiempo.

Para que se cumpla la condición de onda estacionaria deben decumplirse las condiciones de contorno (siendo L la longitud de la cuerda):
(5)

Así que el cumplimiento de estas condiciones de contorno implica que
(6)

Donde es la longitud de la onda estacionaria para cada modo de vibración (n natural).

Puesto que la velocidad es el producto de la longitud de onda y la frecuencia tenemos:
(7)

Así que teniendo encuenta (2) y (7) llegamos a:
(8)
Teniendo en cuenta el resultado en (8) y dándole a n el valor 1 y dividiendo de nuevo entre (8) llegamos a:
(9)
Metodología:
Con los resultados obtenidos en el fundamento teórico, se pueden relacionar para cada tensión las frecuencias correspondientes a los distintos modos de vibración.

El primer paso es fijar la tensión de la cuerda,una vez hecho esto se varía la frecuencia de oscilación de la cuerda hasta encontrar el primer modo de vibración, el segundo, el tercero, … (de todas las ondas estacionarias que sea posible), en cada caso se mide la frecuencia con el estroboscopio.

Se midió para tensiones de 1, 0.8 y 0.5 N, obteniéndose las siguientes medidas:
a
Frecuencia 0.017 s-1

Modo de vibración 1.0 0.2N
0.8 0.2 N0.5 0.2N

1 21.900 19.850 16.263
2 44.733 41.000 33.267
3 66.167 58.567 47.717
4 86.867 79.183 63.667
5 99.800 77.933

También se midió la longitud de la cuerda, teniendo esta un valor de:



Resultados:

2-. Realizando un ajuste por mínimos cuadrados de la frecuencia frente al modo de vibración, para cada tensión, se ha obtenido los siguientes valores de rectas de regresión1.0 0.2 N
0.8 0.2N
0.5 0.2N







Puesto que las recta teóricas tienen que pasar por el origen se ve que, aunque no sea cero, el valor del error de este abarca, o se acerca mucho a 0, por lo que paracálculos posteriores se despreciará el valor de este.

A partir de la ecuación (8), y con los valores de las pendientes obtenidas, se ha obtenido para cada modo de vibración un valorde la densidad distinto, se ha tomado como valor de la densidad la media de los valores obtenidos a

Estos valores de la densidad se han obtenido tras identificar el valor de las pendientes de la recta con , despejando el valor de la densidad y aplicando su correspondiente cálculo de errores.


Una vez obtenida la densidad y aplicando de nuevo la ecuación (8) y (9) llegamos a que elvalor de la tensión de la cuerda tiene la expresión:



Con un error igual a:



Aplicando estos dos resultados para el primer modo de vibración y la tensión de 1N se ha obtenido un resultado igual a



Un resultado bastante bueno teniendo en cuenta que el medido experimentalmente tenia un valor de

3-. Para comparar las características de los modos a distintas vibracionesrepresentamos los de vn/n frente a T1/2, realizamos un ajuste por mínimos cuadrados resultando la recta de ecuación:



Y si comparamos el valor obtenido de la pendiente con la ecuación (8), podemos deducir también la densidad de la cuerda, resultando




Comparando este valor con el resultado obtenido en el apartado 2 se comprueba que este es un valor mucho mas aproximado, ya que...