Optica Geometrica

Óptica geométrica
Ecuación del espejo esférico
(aproximación paraxial)

1+1 = 1
a b f

con f = −

R
2

f, distancia focal: punto donde convergen los rayos que vienen desde el infinito.
R < 0: espejo cóncavo
R > 0: espejo convexo

A
α
R α l2
o Q
b

l1
P
a

Refracción en superficie esférica:

n1 n2 n2 − n1
+
=
s o si
R

lo

Largo del Camino Optico (LCO)=

lo n1 + li n2

n1
so

θi

θr

v

R ϕθt

lin2
si

d (LCO )
=0
dϕ

Lentes delgadas
Introducción:
_ Una lente es un sistema óptico formado por dos o más interfases refractoras, donde al
menos una de estas está curvada.
_ Nos limitaremos a sistemas centrados, es decir, sistemas que tienen simetría de
revolución.
Deducción de la ecuación de las lentes (n2 > n1)
s

s

n2

n1

n1

P

n2
s

P’

n1

n2

n1 n2 − n1
<
⇒ si > 0 imagen real
so
R
n1n2 − n1
=
⇒ si = ∞ imagen en el infinito
so
R
n1 n2 − n1
>
⇒ si < 0
so
R

imagen virtual

P’

V1
S

P

V2

C2
R2

C1
nl
R1

nm
S01

nm
d

Si1

Si2
S02

nl: índice de refracción de la lente
nm: índice de refracción del medio (ej. aire)
1ª superficie:
los rayos paraxiales que parten de S (en S01) se encontrarán en P’ a una distancia Si1 de
V1.

nm nl
n − nm
+
= l
S 01 S i1
R1

(1)

 S i1 = − S i1tengamos en cuenta que: S 02 = S i1 + d 

 S 02 = S 02

2ª superficie

nl
n
n − nl
+ m = m
S 02 S i 2
R2
nl
n
n −n
+ m = m l
(− Si1 + d ) Si 2
R2

R2 < 0 ; nl > nm
Sumando las ecuaciones (1) y (2)

nm nm nl − nm nm − nl
nl
n
+
=
+
−
− l
(d − Si1 ) Si1
S 01 S i 2
R1
R2


nm nm
nl d
+
= (nl − nm ) 1 − 1  +
S 01 S i 2
 R1 R2  (S i1 − d )S i1
-- lente delgada ⇒ d → 0
-- lente inmersa en elaire: nm = 1

(2)

1 + 1 = (n − 1) 1 − 1 
l
 R R  “Fórmula del fabricante”
S 01 S i 2
2 
 1
También se ve fácilmente de esta ecuación:

lim So = f o ; lim Si = f i ,
S i →∞

S o →∞

−1


 1

− 1  ,
donde f o = f i = (nl − 1)
 R1 R2 

con lo que podemos eliminar los subíndices y llegamos a la fórmula gaussiana para
lentes delgadas:

1 + 1 = 1
S 0 Si
f
Ej. Distancia focal deuna lente plano-convexa en aire
R1 = ∞, R2 = -50 mm, nl = 1.5




f = (nl − 1) 1 − 1 
 R1 R2 


−1



= (1.5 − 1) 1 − 1 
 ∞ − 50 


−1

= 100 mm

También vale:
Si R1 = 50 mm; R2 = ∞ ⇒ f = 100 mm
Óptica Gaussiana por el método matricial
α

A los Rayos se les asocia un vector de

G d 
r =  
α 

d

la forma:
Eje óptico

Rayos paraxiales significa que los rayos queestamos considerando forman un pequeño
ángulo con el eje óptico del sistema, así podemos aproximar sin α ≈ tgα ≈ α << 1 .

G

G

La relación entre dos rayos r1 y r2 (antes y después de un elemento óptico) está dada
por:
G
G
r2 = M r1 ,
donde M es una matriz de 2x2 correspondiente al elemento óptico en cuestión.
Cuando se rata de un sistema óptico formado por varios elementos, la matriz de dichosistema se obtiene multiplicando las matrices correspondientes a cada elemento.

Convención de signos:

R1>0
R2<0

R1

R2

α

−α
d
α

-d

Matriz de propagación:

d
−α

-d

d 2 = 1 ⋅ d1 + L ⋅ α 1

α2
α1

d1

1 L

M propag . = 
0 1 

α 2 = 0 ⋅ d1 + 1 ⋅ αN1

d2
e.o.

=α 2

L
Matriz de refracción:

α1

α2

d1

d 2 = 1 ⋅ d1 + 0 ⋅ α1

d2

n1

d1 = d 2 ; Snell : n1α1 = n2α 2

n2

n
α 2 = 0 ⋅ d1 + 1 ⋅α 1
n2

M refrac.

0 
1

= 0 n1 

n2 


Matriz de transición en una superficie esférica:

n1 → n2

n2

n1
R

s

o

p

M sup .esférica

Matriz de lentes delgadas:
n1
R2

n2

R1

R>0

R1 > 0
R2 < 0

 1
=  n1 − n2
 Rn2

0 
n1 

n2 

M l .d .
M l .d .

0  
n1  = 
 
n2  

0  1
n2  n1 − n2

n1  R1n2

1


(
n
−
=
1 − n2 )
 R2 n1
0
 1

= 
−
1
1
f



1

( )(
n1 −n2
n1

1
R1

− R1

2

)

0

1


Ejemplos:
Deducción de la ecuación de las lentes: un objeto P se encuentra a una distancia a
delante de una lente. ¿Dónde se encuentra su imagen Q?

a

α

f

b

f

Para todo rayo que forma un ángulo α saliendo de P y un ángulo β llegando a Q tiene
que cumplirse:

 0   1 b  1
  = 

0
1
β
  
 − 1 f
 0  1 − b f
  = 
 β   −1 f

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