oscilaciones

MOVIMIENTO ARMONICO
1.- Oscilaciones Amortiguadas.
La experiencia nos muestra que la amplitud de un cuerpo vibrante tal como un resorte o un péndulo, decrece gradualmente hasta que se detiene.

Para explicar el amortiguamiento, podemos suponer que además de la fuerza elástica F=-kx, actúa otra fuerza opuesta a la velocidad Fr=-lv, donde l es una constante que depende del sistema físicoparticular. Todo cuerpo que se mueve en el seno del fluido de un líquido. en régimen laminar experimenta una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad y de sentido contrario a ésta.
La ecuación del movimiento se escribe
ma=-kx-λv
Expresamos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial, teniendo en cuenta que la aceleración es la derivada segunda de la posición x, y lavelocidad es la derivada primera de x.

La solución de la ecuación diferencial tiene la siguiente expresión


Las características esenciales de las oscilaciones amortiguadas:
• La amplitud de la oscilación disminuye con el tiempo.
• La energía del oscilador también disminuye, debido al trabajo de la fuerza Fr de rozamiento viscoso opuesta a la velocidad.
• En el espacio de las fases (v-x) elmóvil describe una espiral que converge hacia el origen.
Si el amortiguamiento es grande, g puede ser mayor que w0, y w puede llegar a ser cero (oscilaciones críticas) o imaginario (oscilaciones sobreamortiguadas). En ambos casos, no hay oscilaciones y la partícula se aproxima gradualmente a la posición de equilibrio. La energía que pierde la partícula que experimenta una oscilación amortiguada esabsorbida por el medio que la rodea.
Condiciones iniciales
La posición inicial x0 y la velocidad inicial v0 determinan la amplitud A y la fase inicial j . Para t=0,
x0=A•senj
v0=-Ag•senj+Aw•cosj
En este sistema de dos ecuaciones se despeja A y j a partir de los datos de x0 y v0

Ejemplo:
Sea una oscilación amortiguada de frecuencia angular propia ω0=100 rad/s, y cuya constante deamortiguamiento γ=7.0 s-1. Sabiendo que la partícula parte de la posición x0=5 con velocidad inicial nula, v0=0, escribir la ecuación de la oscilación amortiguada.
La frecuencia angular de la oscilación amortiguada ω es

5=A•senj
0=-7A•senj +99.75•A•cosj
La ecuación de la oscilación amortiguada es
x=5.01•exp(-7t)•sen(99.75t+1.5)
Como vemos la amplitud A no es 5 ni la fase inicial φ es π/2, comoen las oscilaciones libres.




Posiciones de retorno
Las posiciones de máximo desplazamiento, son aquellas en las que la velocidad del móvil es cero. En la expresión de la velocidad ponemos v=0 y despejamos el argumento ωt+φ
tan(ωt+φ)=ω/γ

Las posiciones de los puntos de retorno son

Si el móvil parte de la posición x0 con velocidad v0=0, la fase vale tanφ=ω/γ, y A=x0/senφEjemplo:
Las sucesivas posiciones de los puntos de retorno para ω0=100 rad/s, γ=7.0 s-1 del ejemplo del apartado anterior son:
t0=0, x0=5
t1=0.031, x1=-4.01
t2=0.063, x2=3.22
t3=0.094, x3=-2.58
y así, sucesivamente.
La energía del oscilador amortiguado
La energía de la partícula que describe una oscilación amortiguada es la suma de la energía cinética de la partícula y de la energíapotencial del muelle elástico deformado.

Introducimos las expresiones de la posición x y de la velocidad v de la partícula en función del tiempo t.

Si la constante de amortiguamiento γ es pequeña, como hemos visto en el ejemplo del apartado anterior ω0≈ω

La energía decrece exponencialmente con el tiempo, pero con una pequeña ondulación debida al segundo término entre paréntesis, tal comoapreciamos en la figura

2.- Oscilaciones Forzadas.

Como observamos en un columpio, para mantener las oscilaciones hemos de aplicar una fuerza oscilante al oscilador amortiguado.

Sea F0cos(wft) la fuerza oscilante aplicada, siendo wf su frecuencia angular. La ecuación del movimiento será ahora

Expresamos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial

La solución de...