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Regresión lineal

Para otros usos de este término, véase Función lineal (desambiguación).

Ejemplo de una regresión lineal con una variable dependiente y una variable independiente.
En estadística la regresión lineal o ajuste lineal es un método matemático que modela la relación entre unavariable dependiente Y, las variables independientes Xi y un término aleatorio ε. Este modelo puedeser expresado como:

: variable dependiente, explicada o regresando.
: variables explicativas, independientes o regresores.
: parámetros, miden la influencia que las variables explicativas tienen sobre el regresando.
donde  es la intersección o término "constante", las  son los parámetros respectivos a cada variable independiente, y  es el número de parámetros independientes a tener en cuentaen la regresión. La regresión lineal puede ser contrastada con la regresión no lineal.
El modelo de regresión lineal
El modelo lineal relaciona la variable dependiente Y con K variables explicitas  (k = 1,...K), o cualquier transformación de éstas que generen un hiperplano de parámetros desconocidos:
(2)
donde  es la perturbación aleatoria que recoge todos aquellos factores de la realidad nocontrolables u observables y que por tanto se asocian con el azar, y es la que confiere al modelo su carácter estocástico. En el caso más sencillo, con una sola variable explicita, el hiperplano es una recta:
(3)
El problema de la regresión consiste en elegir unos valores determinados para los parámetros desconocidos , de modo que la ecuación quede completamente especificada. Para ello senecesita un conjunto de observaciones. En una observación i-ésima (i= 1,... I) cualquiera, se registra el comportamiento simultáneo de la variable dependiente y las variables explicitas (las perturbaciones aleatorias se suponen no observables).
(4)
Los valores escogidos como estimadores de los parámetros , son los coeficientes de regresión sin que se pueda garantizar que coincida n con parámetrosreales del proceso generador. Por tanto, en
(5)
Los valores  son por su parte estimaciones o errores de la perturbación aleatoria.
Hipótesis modelo de regresión lineal clásico
1. Esperanza matemática nula.



Para cada valor de X la perturbación tomará distintos valores de forma aleatoria, pero no tomará sistemáticamente valores positivos o negativos, sino que se supone tomará algunos valoresmayores que cero y otros menores que cero, de tal forma que su valor esperado sea cero.

2. Homocedasticidad

 para todo t
Todos los términos de la perturbación tienen la misma varianza que es desconocida. La dispersión de cada  en torno a su valor esperado es siempre la misma.

3. Incorrelación.
 para todo t,s con t distinto de s
Las covarianzas entre las distintas pertubaciones sonnulas, lo que quiere decir que no están correlacionadas o autocorrelacionadas. Esto implica que el valor de la perturbación para cualquier observación muestral no viene influenciado por los valores de las perturbaciones correspondientes a otras observaciones muestrales.
4. Regresores no estocásticos.
5. No existen relaciones lineales exactas entre los regresores.
6.  Suponemos que no existenerrores de especificación en el modelo, ni errores de medida en las variables explicativas
7. Normalidad de las perturbaciones 
Supuestos del modelo de regresión lineal
Para poder crear un modelo de regresión lineal es necesario que se cumpla con los siguientes supuestos:3
1. Que la relación entre las variables sea lineal.
2. Que los errores en la medición de las variables explicativas seanindependientes entre sí.
3. Que los errores tengan varianza constante. (Homocedasticidad)
4. Que los errores tengan una esperanza matemática igual a cero (los errores de una misma magnitud y distinto signo son equiprobables).
5. Que el error total sea la suma de todos los errores.
Tipos de modelos de regresión lineal
Existen diferentes tipos de regresión lineal que se clasifican de acuerdo a sus...