P5 Respuesta transitoria 3

Análisis de la respuesta
transitoria

Ingeniería de Control – Prof. Luis Rosas

1

Respuesta transitoria
La respuesta transitoria de un sistema dinámico es la respuesta en el
tiempo que presenta el proceso ante un cambio en la entrada, y se
representa desde donde se aplicó la entrada al sistema hasta que éste
alcance su nuevo valor final.
qi (t ) = 30%

qi (t ) = 60%
Cambio en el
Flujo deentrada

h(t )

h(t ) = 20%

Estado estable

Respuesta transitoria

h(t )

h(t )

t

t

La respuesta en estado estable es el estado del sistema en el que la
variable de salida permanece constante o se estabiliza en un valor para
una cierta entrada.
Ingeniería de Control – Prof. Luis Rosas

2

Procesos de primer orden

R(S)

∑

Gc(s)
E(S)

Gp(s)
U(S)

Y(S)

Cuando el modelo del proceso Gp(s) es deprimer orden, éste típicamente
se representa por una función de transferencia de la forma
Y (s)
K
=
U (s) τ s + 1

Donde:
K
τ

es la ganancia del proceso
es la constante de tiempo del proceso

Ingeniería de Control – Prof. Luis Rosas

3

Procesos de primer orden
Si aplicamos un escalón de manipulación de magnitud ‘A’, entonces
Y (s) =

KA

τ

s( s + 1 )

τ

Expandiendo en fracciones parciales
KA
Y(s)
τ = KA − KA
=
U (s) s(s + 1 )
s s+ 1

τ

τ

Por tanto aplicando la transformada inversa de Laplace tenemos
y (t ) = AK (1 − e−t / τ )

Si evaluamos la función para t= τ, 2 τ, 3 τ, … se obtiene la siguiente
gráfica
Ingeniería de Control – Prof. Luis Rosas

4

Procesos de primer orden
y(t)
KA
0.9816 KA

0.6321 KA

τ

2τ

3τ

4τ

5τ

t

Donde:
Y(τ) = 0.6321 (KA)
Y(2τ) = 0.8646 (KA)
Y(3τ) = 0.9502(KA)
Y(4τ) = 0.9816 (KA)
Y(5τ) = 0.9932 (KA)

Ingeniería de Control – Prof. Luis Rosas

5

Procesos de primer orden
La teoría de control nos dice que un sistema alcanza su estado estable
ante un transitorio, cuando la respuesta se encuentra en una banda de
± 2% del valor final
Por tanto, de la gráfica anterior podemos sacar las siguientes
conclusiones:
1. Los procesos de primer orden seestabilizan ante una entrada
escalón en un tiempo aproximado de 4 τ
2. El valor final al que convergen los procesos de primer orden ante
una entrada escalón está determinado por la multiplicación de la
ganancia del proceso y la amplitud del escalón “K x A”
V .F . = lim f (t ) = lim s
t →∞

Ingeniería de Control – Prof. Luis Rosas

s →0

KA

τ

s( s + 1 )

= KA

τ

6

Ejemplo de respuesta al escalón deprocesos de primer orden
Ejemplo #1
Se tiene un termómetro cuya función de transferencia se muestra junto a
la figura, el cual es sumergido en un tanque con agua caliente a 70°C. Si
la temperatura del aire es de 0°C ¿cuál es valor final de la lectura del
termómetro? ¿Presente error en la lectura? Si presenta error ¿de cuánto
es? ¿Cuánto tiempo en estabilizarse en la lectura final?

Solución:
70°CLectura final = KA = (1.12)(70) = 78.4°C
G (s) =

1.12
3.5s + 1

Error = 70 – 78.4 = -8.4°C
Tiempo de estabilización de lectura = 4τ = 14 seg.

Ingeniería de Control – Prof. Luis Rosas

7

Sistemas de primer orden
Un sistema de primer orden es aquél cuya relación entre la referencia
deseada R(s) y la salida del proceso Y(s) es una función de transferencia
de primer orden típica, es decir

R(S)Gc(s)

+_

Y(S)

R(S)

1
τs

+_

R(S)

Ingeniería de Control – Prof. Luis Rosas

Gp(s)

1
τs + 1

Y(S)

Y(S)

8

Función escalón unitario
La función escalón unitario consiste en un cambio en la magnitud de 0 a 1
en el instante de tiempo cero.
f (t )

⎧0 para t < 0
f (t ) = ⎨
⎩1 para t ≥ 0

1
t

Por tanto, generalizando la función para cualquier magnitud A tenemos:
f (t )
⎧0 para t < 0
f (t ) = ⎨
⎩Apara t ≥ 0

A

t

Esta función es sumamente usada en la Ingeniería de Control para el
análisis del control por seguimiento (cambios en referencia)
Ingeniería de Control – Prof. Luis Rosas

9

Respuesta al escalón unitario de sistemas de primer orden
La respuesta de un sistema de primer orden a una entrada escalón
unitario está dada por

Y (s) =

1

τ

1
1
= −
s(s + 1 ) s s + 1

τ

y (t ) = 1 −...