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FUNCIONES

Se va a introducir el concepto de función, hablando libremente una función f de un conjunto A en un conjunto B es una regla (procedimiento o mecanismo) que nos transporta de un conjunto a otro de manera que asociamos cada elemento de A un único elemento en B.

Consideremos dos conjuntos cualquiera A y B, a la relación binaria f de A en B le llamaremos función de A en B, si y sólosi, verifica:

Esto quiere decir, que dos pares ordenados distintos no pueden tener la misma primera componente.


Una función f de A en B denotaremos por: f: A B; o A B y se lee “f es una función de A en B”, donde al conjunto A le llamaremos conjunto de partida y el conjunto B le llamaremos conjunto de llegada.

Si el par (a, b) f, escribiremos b = f(a) y se dice que b es la imagen de“a” por f o también, que b = f(a) es el valor de f en el punto a. Sí A = B = R, a la función f: R R, se denomina función real de variable real.

Una consecuencia inmediata de la definición de función, es que toda función es una relación pero no toda relación es una función.

Ejemplo:
La relación: R = {(1,2),(2,3),(3,4),(2,5)} no es una función, puesto que para el elemento 2 existen doselementos 3 y 5 tales que (2,3),(2,5) R, que contradice a la definición de función.

DOMINIO DE UNA FUNCION:
Sea f: A B una función de A en B, llamaremos dominio de la función f, al conjunto de todas sus primeras componentes, al cual denotaremos por Df, es decir:


RANGO DE UNA FUNCION:
Sea f: A B una función de A en B, llamaremos rango de la función f, al conjunto de todas sus segundascomponentes, al cual denotaremos por Rf, es decir:















El dominio de una función f se determina analizando todos los valores posibles que pueda tomar x, de tal manera que f(x) sea real, salvo el caso en que dicho dominio sea especificado. El rango de una función f se determina despejando la variable x en función de “y”, luego se analiza todos los valores posibles que puedatomar “y”, de tal manera que x sea real.

Ejemplos:
Sea f = {(1, 2), (3, 4), (5, 6), (7, 8)}
Su dominio y rango es: Df= {1, 3, 5, 7}; Rf = {2, 4, 6, 8}

Hallar el dominio y rango de la función f(x) = 2 + x – x2
Calculando el dominio: como y = f(x,) entonces:
Y = 2 + x – x2 luego “y” es real si 2 + x – x2 0, de donde
x2 - x - 2 0 (x - 2)(x + l) 0
Luego el dominio es: Df = [-1,2]Calculando el rango: como y = 2 + x – x2, y 0
y2 =2 +x - x2, despejamos x, es decir: x = 1 9 – 4y2
2
Luego x es real si 9 – 4y2 0 y2 - y
Por lo tanto Rf = [0, +∞› [-, ] Rf = [0,]

FUNCIONES ESPECIALES:

FUNCIÓN CONSTANTE:
A la función f, le llamaremos función constante, si su regla de correspondencia es:



También la función constante, se puede definir por:



Dondesu dominio es Df = R, su rango es Rf = {c}

FUNCIÓN IDENTIDAD:
A la función f, le llamaremos función identidad, si su regla de correspondencia es: f(x) = x

También a la función identidad se define: f = {(x, y) R x R / y = x}, donde Df = R, Rf =R, y su gráfica es:

FUNCIÓN LINEAL:
A la función f, le llamaremos función lineal, si su regla de correspondencia es: f(x) = ax + b, donde a,b son constantes y a 0. También a la función lineal se puede expresar en la forma: f = {(x, y)Rx R / y = ax + b}, donde Df =R y Rf = R; a, b R y a 0, cuya gráfica es:



FUNCIÓN RAIZ CUADRADA:
A la función f, le llamaremos función raíz cuadrada, si su regla de correspondencia es:

También se puede expresar en la forma:




Donde Df = R y Rf = ‹0,+∞]

FUNCIÓN CUADRÁTICA:
Ala función f, le llamaremos función cuadrática, si su regla de correspondencia es:




La gráfica de la función cuadrática es una parábola con eje perpendicular al eje X en el cual se presenta dos casos:




Si a 0 la gráfica se abre hacía arriba.







Si a 0 la gráfica se abre hacia abajo.






FUNCIÓN POLINOMIAL:
A la función f, le llamaremos función polinomial,...