Pallas

Área de Análisis Matemático Universidad de Zaragoza

Cap´ ıtulo 9

Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor
En la representaci´n (e incluso en la construcci´n) de funciones, desempe˜an un papel especialo o n mente destacado cierto tipo de series, denominadas series de potencias. Los aspectos profundos de su estudio corresponden a la teor´ de funciones de variable compleja m´s quea la teor´ de funcioıa a ıa nes de variable real, por lo que aqu´ damos simplemente algunas propiedades sencillas, suficientes ı para nuestros prop´sitos. Como referencia utilizamos [Apostol1]. o

9.1.
9.1.1.

Series de potencias
Convergencia de las series de potencias

Definici´n 9.1.1. Recibe el nombre de serie de potencias toda serie de la forma o
∞

an (x − c)n .
n=0

El n´meroreal an se denomina coeficiente n-´simo de la serie de potencias (obs´rvese que el u e e n ). Si los coeficientes a , a , a t´rmino n-´simo es an (x − c) e e 0 1 m−1 son nulos, la serie suele escribirse ∞ an (x − c)n . n=m En cierto modo, se trata de una especie de “polinomio con infinitos t´rminos”. Veremos que, a e la hora de operar con ellas, las funciones definidas como suma de una serie depotencias comparten muchas propiedades con los polinomios. ¿Para qu´ valores de x converge una tal serie? Obviamente, es segura la convergencia para e x = c, con suma a0 , y puede suceder que ´ste sea el unico punto en el que la serie converge. Fuera e ´ de este caso extremo, la situaci´n es bastante satisfactoria: veamos algunos ejemplos. o Ejemplos. (1) La serie geom´trica e
∞

xn
n=0

converge(absolutamente) si y solo si x ∈ (−1, 1) (con suma 1/(1 − x), como sabemos). (2) La serie ∞ xn n
n=1

converge si y solo si x ∈ [−1, 1). Si x ∈ (−1, 1), converge absolutamente. 157

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CAP´ ITULO 9. SERIES DE POTENCIAS. DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR (3) La serie
∞ n=1

1 n x n2

converge (absolutamente) si y solo si x ∈ [−1, 1]. (4) La serie ∞ (−1)n x2n n
n=1

converge si ysolo si x ∈ [−1, 1]. Si x ∈ (−1, 1), converge absolutamente. (5) La serie ∞ xn n!
n=0

converge (absolutamente) para todo x ∈ R (y la suma es ex ). (6) La serie
∞

n! xn
n=0

converge solamente para x = 0. Lema 9.1.2. Si para alg´n r ∈ (0, +∞) la sucesi´n (an rn ) est´ acotada, entonces para cada x ∈ R u o a ∞ n es absolutamente convergente. tal que |x − c| < r la serie n=0 an (x − c)Demostraci´n. Sea M tal que para todo n ≥ 0 se tenga o |an | rn ≤ M. Entonces
∞ ∞

|an | |x − c|n =
n=0 n=0

|an |rn

|x − c|n rn

est´ mayorada por la serie convergente a
∞

M
n=0

|x − c|n . rn
∞ n n=0 an (x − c) ,

Definici´n 9.1.3. Dada una serie de potencias o el valor (finito o infinito) dado por
∞

su radio de convergencia es

r = sup{|x − c| :
n=0

an (x − c)nconverge}.

Si r > 0, el intervalo (c−r, c+r) se denomina intervalo de convergencia de la serie de potencias. Corolario 9.1.4. Dada una serie de potencias tiene:
∞ n=0 an (x

− c)n , con radio de convergencia r, se

a) la serie converge absolutamente en cada punto x de su intervalo de convergencia; en otras palabras, si |x − c| < r, la serie ∞ an (x − c)n es absolutamente convergente; n=0 b) laserie no converge en los puntos x tales que |x − c| > r. Nota. Seg´n los ejemplos previos, cuando r es finito, nada puede decirse sobre la convergencia en u los puntos c+r, c−r. Tampoco hay un resultado general sobre convergencia uniforme en (c−r, c+r).

9.1. SERIES DE POTENCIAS

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Demostraci´n. a) De la definici´n de r se deduce que si |x − c| < r, debe existir un punto x1 tal o o que |x −c| < |x1 − c| y ∞ an (x1 − c)n converge. Aplicando el lema anterior, ∞ an (x − c)n n=0 n=0 debe converger absolutamente. b) Consecuencia directa de la definici´n de r. o Ejemplos. (1) La serie ∞ xn tiene radio de convergencia 1. Para x = 1 diverge a +∞ y para n=1 x = −1 es oscilante. ∞ xn tiene radio de convergencia 1. Para x = 1 diverge a +∞ y para x = −1 es (2) La serie n n=1 convergente...