pendulo simple y oscilaciones

Péndulo simple
El péndulo simple (también llamado péndulo matemático o péndulo ideal) es un sistema idealizado constituido por una partícula de masa m que está suspendida de un punto fijo O mediante un hilo inextensible y sin peso. Naturalmente es imposible la realización práctica de un péndulo simple, pero si es accesible a la teoría.
El péndulo simple o matemático se denomina así encontraposición a los péndulos reales, compuestos o físicos, únicos que pueden construirse.

Ecuación del movimiento


Péndulo simple. Esquema de fuerzas..
Método de Newton
Consideremos un péndulo simple, como el representado en la Figura. Si desplazamos la partícula desde la posición de equilibrio hasta que el hilo forme un ángulo Θ con la vertical, y luego la abandonamos partiendo del reposo, elpéndulo oscilará en un plano vertical bajo la acción de la gravedad. Las oscilaciones tendrán lugar entre las posiciones extremas Θ y -Θ, simétricas respecto a la vertical, a lo largo de un arco de circunferencia cuyo radio es la longitud, , del hilo. El movimiento es periódico, pero no podemos asegurar que sea armónico.
Para determinar la naturaleza de las oscilaciones deberemos escribir laecuación del movimiento de la partícula.
La partícula se mueve sobre un arco de circunferencia bajo la acción de dos fuerzas: su propio peso (mg) y la tensión del hilo (N), siendo la fuerza motriz la componente tangencial del peso. Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos:

siendo at, la aceleración tangencial y donde hemos incluido el signo negativo para manifestar que la fuerza tangencial tienesiempre sentido opuesto al desplazamiento (fuerza recuperadora).
Al tratarse de un movimiento circular, podemos poner

siendo la aceleración angular, de modo que la ec. dif. del movimiento es:

Esta ec. dif. no corresponde a un movimiento armónico simple (m.a.s.) debido a la presencia de la función seno, de modo que podemos asegurar que el movimiento del péndulo simple no es armónico simple,en general.
Método de Lagrange[editar]
El lagrangiano del sistema es

donde es la elongación angular (ángulo que forma el hilo con la vertical) y es la longitud del hilo. Aplicando las ecuaciones de Lagrange se sigue

y obtenemos la ecuación del movimiento es

de modo que la masa no interviene en el movimiento de un péndulo.




Pequeñas oscilaciones


Péndulo simple en movimientoarmónico simple con oscilaciones pequeñas.


Para pequeñas oscilaciones, la función que representa la elongación angular con el tiempo, , es casi sinusoidal; para mayores amplitudes la oscilación ya no es sinusoidal. La figura muestra un movimiento de gran amplitud (negro), junto a un movimiento de pequeña amplitud (gris).
Si consideramos tan sólo oscilaciones de pequeña amplitud, de modo queel ángulo θ sea siempre suficientemente pequeño, entonces el valor del senθ será muy próximo al valor de θ expresado en radianes (senθ ≈ θ, para θ suficientemente pequeño), como podemos apreciar en la Tabla I, y la ec. dif. del movimiento se reduce a

que es idéntica a la ec. dif. correspondiente al m.a.s., refiriéndose ahora al movimiento angular en lugar de al movimiento rectilíneo, cuyasolución es:

siendo ω la frecuencia angular de las oscilaciones, a partir de la cual determinamos el período de las mismas:

Las magnitudes y son dos constantes "arbitrarias" (determinadas por las condiciones iniciales) correspondientes a la amplitud angular y a la fase inicial del movimiento. Ambas tienen dimensiones de ángulo plano.
Comparación entre el valor de un ángulo (rad) y su seno.
Θ(º)Θ(rad)
senΘ
dif. %
Θ(º)
Θ(rad)
senΘ
dif. %
0
0,00000
0,00000
0,00
15
0,26180
0,25882
1,15
2
0,03491
0,03490
0,02
20
0,34907
0,34202
2,06
5
0,08727
0,08716
0,13
25
0,43633
0,42262
3,25
10
0,17453
0,17365
0,51
30
0,52360
0,50000
4,72
Isocronismo
Obsérvese que el periodo del péndulo simple es independiente de la masa de la partícula suspendida y, también,...