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Para lograrlo debemos conocer dos elementos importantes:

- el centro de la circunferencia (C), dado por sus coordenadas

- el radio (r) de la misma circunferencia

Definido esto, tendremos dos posibilidades:



A) Circunferencia con centro (C) en el origen de las coordenadas; expresado como C (0, 0)

B) Y circunferencia con centro (C) fuera del origen de las coordenadas; expresado,por ejemplo, como C (3, 2).

Circunferencia con centro (C) en el origen de las coordenadas; expresado como C (0, 0)

A continuación analizaremos cuatro casos

Caso 1
Veamos la gráfica siguiente:
x

Los datos que nos entrega son:

Centro: C (0, 0), el centro se ubica en el origen de las coordenadas x e y

radio: r = 3, lo indica el 3 en cada una de las coordenadas.

Recordar esto:Cuando el centro (C) de la circunferencia sea (0, 0) se usará la ecuación x2 + y2 = r2 para expresar dicha circunferencia en forma analítica (Geometría analítica). Esta ecuación se conoce como ecuación reducida.

Para la gráfica de nuestro ejemplo, reemplazamos el valor de r en la fórmula x2 + y2 = 32
y nos queda x2 + y2 = 9 como la ecuación reducida de la circunferencia graficadaarriba.x


Los datos que nos entrega son:

Centro: C (0, 0), el centro se ubica en el origen de las coordenadas x e y

radio: r, lo desconocemos, pero tenemos un dato: el punto P (3, 4) ubicado en la circunferencia.

Recordemos de nuevo:

Cuando el centro (C) de la circunferencia sea (0, 0) se usará la ecuación x2 + y2 = r2 para expresar dicha circunferencia en forma analítica. Esta ecuaciónse conoce como ecuación reducida.

Para la gráfica de nuestro ejemplo, deberíamos colocar el valor de r en la fórmula x2 + y2 = r2 , pero resulta que no lo conocemos.

Entonces, a partir del dato P (3, 4) podemos calcular el valor del trazo que une este punto con el centro C (0, 0) (trazo PC con línea punteada en la figura), el cual corresponde al radio de la circunferencia dada.

¿Cómocalculamos el valor de la distancia (d) entre P y C (el radio de la circunferencia)?

Para calcular la distancia (d) entre dos puntos (encontrar su valor) contamos con la siguiente fórmula:

ecuacion_circunferencia005

No olvidemos que esta fórmula es para encontrar o conocer la distancia entre dos puntos; por lo mismo, debemos saber que en ella

(x2 ─ x1)2 representa al punto 1, y ese punto1 (P1) lo haremos corresponder con el punto que pasa por el centro C (0, 0)

(y2 ─ y1)2 representa al punto 2, y ese punto 2 (P2) lo haremos corresponder con el punto que pasa por P (3, 4).

Es muy importante conocer o designar este orden ya que

ecuacion_circunferencia006

Establecido este orden o equivalencia, podemos sustituir los valores en la fórmula anterior para conocer ladistancia (d) entre los dos puntos que nos interesan, la cual será nuestro radio:

ecuacion_circunferencia007

El 5 nos indica la distancia entre los dos puntos, el centro de la circunferencia y uno de sus puntos, lo cual corresponde al radio.

Recapitulemos:

Para expresar u obtener la ecuación de una circunferencia cuyo centro está en el origen, necesitamos conocer el centro, ya sabemos que es C(0, 0), y conocer el radio, que ahora sabemos que es 5.

¿Se acuerdan cuál es la fórnula?

Esta: x2 + y2 = r2

Reemplazamos en ella el valor del radio

x2 + y2 = 52 y nos queda

x2 + y2 = 25 como la ecuación reducida de la circunferencia graficada arriba (en la cual nos indicaron un centro y un punto en ella).

Ojo:

Si nos dieran la ecuación x2 + y2 = 25 y nos preguntaran quérepresenta, razonamos en sentido inverso y diremos que representa una circunferencia, con centro (C) en el origen de las coordenadas (0, 0) y cuyo radio es 5 (52 = 25 y la raíz cuadrada de 25 es 5).

Circunferencia con centro (C) en el origen de las coordenadas; expresado como C (0, 0)

Caso 3
Tenemos la gráfica de una circunferencia cuyo centro (C) es el origen de las coordenadas (0, 0), y nos...