planos

Capítulo

2

Vectores

2.1.

Escalares y vectores

Una cantidad física que pueda ser completamente descrita por un número real, en términos de alguna unidad de medida de ella, se denomina
una cantidad física escalar. Como veremos existen cantidades físicas que son
descritas por más de un número, o por un número y otras propiedades. En
particular los vectores se caracterizan por teneruna magnitud, expresable
por un número real, una dirección y un sentido. Sin embargo hay algo más
que explicaremos.

2.2.

Sistemas de referencia

Para especificar la posición de un punto en el espacio, se utilizan sistemas
de referencia. Esta posición se define en forma relativa a algún determinado
sistema de referencia.

2.2.1.

Sistema cartesiano

En un sistema de referenciacartesiano, existen tres ejes denominados ejes
cartesianos X, Y, Z ortogonales que se intersectan en un punto O llamado
origen del sistema cartesiano. La posición de un punto respecto a ese sistema
de referencia se define por el conjunto de sus coordenadas cartesianas (x, y, z),
esto es mediante tres números, ver figura (2.1)

48

Vectores
z
P
r
z
O
x

y

y
x

Figura 2.1:coordenadas cartesianas
Los rangos de variación de las coordenadas cartesianas son
−∞ < x < ∞, − ∞ < y < ∞, − ∞ < z < ∞.

2.2.2.

Sistema esférico de coordenadas

En el sistema esférico de coordenadas, la posición de un punto está definida por sus tres coordenadas esféricas r, θ y φ, ver figura (2.2)

θ

P
r

φ

Figura 2.2: coordenadas esféricas

2.2 Sistemas de referencia

49P
z
φ

ρ

Figura 2.3: coordenadas cilíndricas
donde r es la distancia al origen, θ es el ángulo que forma OP con el eje
Z y φ es el ángulo que forma la proyección de la línea OP en el plano XY
con el eje X. Los rangos de variación de las coordenadas esféricas son
0 6 r < ∞, 0 6 θ < π, 0 6 φ < 2π.

2.2.3.

Sistema cilíndrico de coordenadas

En el sistema cilíndrico de coordenadas,la posición de un punto está
definida por sus tres coordenadas cilíndricas ρ, z y φ, ver figura (2.3) donde
ρ es la distancia de la proyección del punto en el plano OXY al origen,
z es la altura sobre el plano OXY y φ es el ángulo que forma la proyección
de la línea OP en el plano XY con el eje X. Los rangos de variación de las
coordenadas cilíndricas son
0 6 ρ < ∞, 0 6 φ < 2π, − ∞ < z < ∞.2.2.4.

Sistema polar de coordenadas

En el sistema polar de coordenadas, la posición de un punto sobre un
plano está definida por sus dos coordenadas denominadas polares, r y θ, ver
figura (2.4)

50

Vectores
P
r
O

θ
eje polar

Figura 2.4: coordenadas polares
donde r es la distancia del punto P al origen, θ es el ángulo que forma
la línea OP con el eje X, llamado aquí ejepolar. Los rangos de variación de
las coordenadas polares son
0 6 r < ∞, 0 6 θ < 2π.

2.2.5.

Relaciones entre las coordenadas

Es tarea sencilla establecer las siguientes relaciones entre las diversas coordenadas para los sistemas recién descritos
Cartesiano-esférico
x = r sin θ cos φ,
y = r sin θ sin φ,
z = r cos θ.

(2.1)

x = ρ cos φ,
y = ρ sin φ,
z = z.

(2.2)

x = r cosθ,
y = r sin θ.

(2.3)

Cartesiano-cilíndrico

Polar-cartesiano

Más detalles se proporcionan después de introducir el concepto de vector.
Si está perdido respecto de la trigonometría, vea resumen al final.

2.3 Desplazamientos en el espacio

2.3.

51

Desplazamientos en el espacio

El concepto que dio lugar a los vectores, es el de desplazamiento. Considere un sistema dereferencia respecto al cual esté definida la posición de
puntos.
Definicion 2.3.1 Se dice que un punto se mueve respecto a un sistema de
referencia, si sus coordenadas varían con el tiempo.
Definicion 2.3.2 Un desplazamiento se define como cualquier cambio de
posición de un punto en el espacio
Este concepto básico de desplazamiento es en principio más elemental
que el concepto de movimiento...