Planos



4.1 El plano: sistema de coordenadas rectangulares en el plano
Llamado también Sistema Cartesiano (en honor a René Descartes), es aquel sistema de referencia formado por el corte perpendicular de dos rectas numéricas en un punto denominado origen del sistema. El corte de estas rectas determina en el plano cuatro regiones cada una de las cuales se va a denominar cuadrante.


Ubicación de unpuntoRené Descartes creó el plano bidimensional para representar geométricamente ecuaciones algebraicas de toda índole. Obviamente con las restricciones del caso; pero con un punto de partida básico: la ubicación de los puntos y su localización utilizando pares ordenados.
Para ubicar un punto será necesario conocer los valores correspondientes a las proyecciones del punto considerado sobre cada unode los ejes; así en el gráfico; las coordenadas que precisan a "P" son "x" e "y", a las cuales se va a denominar.
De la misma manera, en el eje Y, los valores del origen hacia arriba. Serán considerados positivos, y negativos del origen hacia abajo.

4.2 Puntos del plano: Formula de la distancia entre dos puntos contenidos en el plano
Dadas las coordenadas de dos puntos, P1 y P2, se deduce lafórmula de distancia entre estos dos puntos. La demostración usa el teorema de Pitágoras. Un ejemplo muestra cómo usar la fórmula para determinar la distancia entre dos puntos dadas sus coordenadas La distancia entre dos puntos P1 y P2 del plano la denotaremos por d(P1,P2 ). La fórmula de la distancia usa las coordenadas de los puntos. 
        
1) Determine la distancia entre cada par de puntosdados 
(1.1)(1,2) y (-3,4)     1.2) (-3,0) y (-4,6)

2) Para los pares de puntos dados en cada figura 
a) Estime las coordenadas de los puntos P1 y P2. 
b) Estime la distancia entre P1 y P2 usando la fórmula de distancia 
    
4.3 Ejercicios con el punto medio y formula de la distancia
En la última sección, vimos cómo utilizar el Teorema de Pitágoras para encontrar longitudes desconocidas. En estasección, aprenderás a utilizar el Teorema de Pitágoras para encontrar la distancia entre dos puntos coordenados.
Ejemplo 1
Encontrar la distancia entre los puntos y .

Solución
Empezamos por graficar los dos puntos en el plano coordenado. Se puede ver que, para llegar al punto  desde el punto , necesitamos movernos 4 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia abajo.
Para encontrar la distancia entre y    y debemos encontrar el valor de . . Lo haremos aplicando del Teorema de Pitágoras.



Ejemplo 2: Encuentra la distancia entre los puntos    y 

Solución:
Situamos ambos puntos en la gráfica de arriba.
Observamos que, para ir desde el punto C al punto D, necesitamos movernos 3 unidades hacia abajo y 5 unidades hacia la izquierda.
Podemos encontrar la distancia entre    y  si determinamos lalongitud D. De nuevo, lo haremos aplicando el Teorema de Pitágoras.


La fórmula de la distancia

El procedimiento descrito en los problemas anteriores puede generalizarse haciendo uso del Teorema de Pitágoras para encontrar una fórmula de la distancia entre dos puntos que se encuentren en el plano coordenado.
Encontremos la distancia que existe entre dos puntos generales    and .
Comenzamos porsituar los puntos en el plano coordenado.
Con el fin de movernos del punto A hasta el punto B en el plano coordenado, nos movemos unidades hacia la derecha y  unidades hacia arriba. Podemos, luego, encontrar la longitud D mediante la aplicación del Teorema de Pitágoras.

Esta ecuación representa la definición de la fórmula de la distancia, la cual enunciamos como sigue:
Dados los puntos   y   ladistancia entre ellos es

Podemos usar dicha fórmula para encontrar la distancia entre dos puntos del plano coordenado. Debes observar que el valor de la distancia es el mismo sin importar si vas del punto A hacia el punto B o si vas desde el punto B hacia el punto A
Esto nos lleva a concluir que, para evaluar la fórmula de la distancia, cualquiera de ambos puntos puede seleccionarse como...