polares

GRAFICACIÓN EN COORDENADAS POLARES
FIDIAS E BUJANDA A

1.

Introducción

El presente trabajo intenta adiestrar a los estudiantes del ciclo básico, en un par de
técnicas elementales de gra…cación de curvas en coordenadas polares. Esencialmente se
repasa el clásico método de asignar valores a la variable independiente y calcular mediante
la expresión explícita de la variable dependientela otra coordenada.y se desarrolla el
método analítico que se soporta en:
Análisis de los intersectos con los objetos geométricos de referencia como son el
eje polar el eje de 90o y el polo
Análisis de las simetrías
Análisis de la extensión

2.

Método de la Fuerza Bruta

Construimos una tabla de tres columnas con el …n de obtener los pares ordenados a partir
de una expresión explícitade la curva; esto es r = f ( ) con : angulo polar (variable independiente) y r : radio vector (variable dependiente):Hacemos un barrido polar hasta
cubrir una vuelta completa,.(en principio 2 [0; 2 )) La continuidad de f ( ) garantiza
la continuidad del camino de la curva.
Ejemplo 1. Gra…car la curva cuya expresión en coordenadas polares es r = 2a cos
Solución:

Date: Octubre, 2010.
Keywords and phrases. Coordenadas Polares, Gra…cación.
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1

2

FIDIAS E BUJANDA A

(1)
r
0
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6

r = 2a cos 0 =) r = 2a
p
r = 2a cos
=) r = 3a
6
p
2
r = 2a cos
=) r = 2a
4
2
1
r = 2a cos
=) r = 2a = a
3
2
r = 2a cos
=) r = 0
2
2
1
r = 2a cos
=) r = 2a
=3
2
3
1p
r = 2a cos
=) r = 2a
2 =
4
2
5
1p
r = 2a cos
3 =
=) r = 2a
6
2
r = 2a cos =) r = 2a

(r; )
(2a; 0)
p
a 3;
6
p
a 2;
4
a;
3
0;
2
2
5
a;
=) a;
3
3
p
p
a 2; 3
=) a 2; 7
4
4
p 5
p 11
a 3;
=) a 3;
6
6
( 2a; ) =) (2a; 0)

a
p

2a

p

3a

: Estos puntos fueron llevados a par principal
Y ahora trazamos los puntos que obtuvimos

y1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.2
-0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

x

-0.4
-0.6
-0.8
-1.0

Figura 1. Trazado de los puntos de la Tabla 1.para a = 1

GRAFICACIÓN EN COORDENADAS POLARES

3

Observe que no fue necesario hacer el barrido completo hasta 2 y que hay una simetría
respecto del eje polar. Esto se debe al hecho de que la función coseno esuna función par
esto es cos ( ) = cos ( )
Es posible que tenga que calcular algún punto adicional para mayor certidumbre. Por
(
=
ejemplo el rayo que biseca es
12
6
8r
cos + 1
1p
cos 2 + 1
1
6
2
luego entonces cos
=
=
=
3+ =)
2
12
2
4
2

2

Recordemos que cos
r
1p
1
cos
=
3 + = 0;965 93
12
4
2
Así r = f

12

= 2a cos

12

= 2a (0;965 93) = 1;9319aFinalmente, se trata de una circunferencia con centro en coordenadas cartesianas (a; 0)
y radio = a =) (x a)2 + y 2 = a2

y

1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.2
-0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

x

-0.4
-0.6
-0.8
-1.0

Figura 2. Grá…ca de r = 2a cos con a = 1

Ejercicio 1. Gra…car la curva cuya expresión en coordenadas polares es r = 2a sinEjercicio 2. Gra…car la curva cuya expresión en coordenadas polares es r = e
Ejercicio 3. Gra…car la curva cuya expresión en coordenadas polares es r = esin

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FIDIAS E BUJANDA A

3.

Método Analítico

Consiste en la aplicación de los siguientes pasos

1. Dominio de la función.
Se examina el dominio de la función explícita r = f ( ) ya que es posible que
existan intervalos en donde lafunción no esté de…nida.
2. Cálculo de los interceptos
= k con k 2 Z
Con el eje polar: IEP :
r = f (k )
8
< = (2k + 1) con k 2 Z
h 2
i
Con el eje a 90o : I90o :
:
r = f (2k + 1)
2
r=0
Hay que resolver la ecuación trigonométrica
Con el polo: IP olo :
0=f( )
0=f( )
3. Análisis de las simetrías
Se dan dos pruebas de simetría por cada objeto de referencia.Cada prueba será
verdadera...