poligonos regulares

En geometría, se le llama polígono regular a un polígono cuyos lados y ángulos interiores son congruentes entre sí. Los polígonos regulares de tres y cuatro lados se llaman triángulo equilátero y cuadrado, respectivamente. Para polígonos de más lados, se añade el término regular (pentágono regular, hexágono regular, etc). Solo algunos polígonos regulares pueden ser construidos con regla ycompás.[1]

Elementos de un polígono regularEditar
Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono.
Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.
Centro, C: el punto central equidistante de todos los vértices.
Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices.
Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del polígono.
Diagonal, d:segmento que une dos vértices no contiguos.
Perímetro, P: es la suma de la medida de su contorno.
Semiperímetro, SP: es la semisuma del perímetro.
Sagita, S: parte del radio comprendida entre el punto medio de un arco de circunferencia y cuerdaPropiedades de un polígono regularEditar
Los polígonos regulares son polígonos equiláteros, puesto que todos sus lados son de la misma medida.
Lospolígonos regulares son equiangulares, puesto que todos sus ángulos interiores tienen la misma medida.
Los polígonos regulares se pueden inscribir en una circunferencia.
Ángulos de un polígono regularEditar
PoliReg 10.svg
Central
Todos los ángulos centrales de un polígono regular son congruentes y su medida α puede obtenerse a partir del número de lados n del polígono como sigue:
\alpha =\frac{360^\circ}{n} \; en grados sexagesimales
\alpha = \frac{2\pi}{n} \; en radianes
Interior
El ángulo interior, \beta \,, de un polígono regular mide:
\beta = 180^\circ \cdot \frac{(n-2)}{n} \; en grados sexagesimales
\beta = \pi \cdot \frac{(n-2)}{n} \; en radianes
La suma de los ángulos interiores, \sum \beta \; , de un polígono regular es de:
\sum \beta = 180^\circ \cdot {(n-2)}\; en grados sexagesimales
\sum \beta = \pi \cdot {(n-2)} \; en radianes
Exterior
El ángulo exterior, \gamma \; , de un polígono regular es de:
\gamma = \frac{360^\circ}{n} \; en grados sexagesimales
\gamma = \frac{2 \pi}{n} \; en radianes
La suma de los ángulos exteriores, \sum \gamma \,, de un polígono regular es:
\sum \gamma = 360^\circ \; en grados sexagesimales
\sum \gamma= 2 \pi \; en radianes


Galería de polígonos regularesEditar

Triángulo equilátero (Triángulo regular) (3)



Cuadrado (cuadrilátero regular) (4)



Pentágono regular (5)



Hexágono regular (6)



Heptágono regular (7)



Octágono regular (8)


Eneágono regular (9)



Decágono regular (10)



Endecágono regular (11)



Dodecágono regular (12)Tridecágono regular (13)



Tetradecágono regular (14)

Observación: A medida que crece el número de lados de un polígono regular, se asemeja más a una circunferencia.

Área de un polígono regularEditar
PoliReg 03.svg
Existen diversas fórmulas para calcular el área de un polígono regular, dependiendo de los elementos conocidos.

En función del perímetro y la apotema
El área deun polígono regular, conociendo el perímetro y la apotema es:

A = \frac {P \cdot a}{2}
Demostración
Partiendo del triángulo que tiene por base un lado L, del polígono y altura su apotema a , el área de este triángulo, es:
A_t = \frac{L \cdot a}{2} \;
Un polígono de n lados, tiene n de estos triángulos, por lo tanto el área del polígono será:
A_p = \frac{L \cdot a}{2} \cdot n \;Sabiendo que la longitud de un lado L, por el número n de lados, es el perímetro P, tenemos:
A_p = \frac{P \cdot a}{2} \;
En función del número de lados y la apotema
PoliReg 04.svg
Sabiendo que:


A_p =
\frac {L \cdot n \cdot a} {2}
Además \delta = \frac {\pi} {n} \ , ya que es la mitad de un ángulo central (esto en radianes).

Observando la imagen, es posible deducir que:...