poligonos regulares



CONSTRUCCIONES DE POLÍGONOS REGULARES DADA LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA

          La construcción de polígonos inscritos en una circunferencia dada, se basan en la división de dicha circunferencia en un número partes iguales. En ocasiones, el trazado pasa por la obtención de la cuerda correspondiente a cada uno de esos arcos, es decir el lado del polígono, y otras ocasiones pasa por laobtención del ángulo central del polígono correspondiente.

          Cuando en una construcción obtenemos el lado del polígono, y hemos de llevarlo sucesivas veces a lo largo de la circunferencia, se aconseja no llevar todos los lados sucesivamente en un solo sentido de la circunferencia, sino, que partiendo de un vértice se lleve la mitad de los lados en una dirección y la otra mitad ensentido contrario, con objeto de minimizar los errores de construcción, inherentes al instrumental o al procedimiento.
 
  TRIÁNGULO, HEXÁGONO Y DODECÁGONO (construcción exacta)


     Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares entre sí, que nos determinarán, sobre la circunferencia dada, los puntos A-B y 1-4 respectivamente.

     A continuación, con centro en 1 y 4 trazaremos dosarcos, de radio igual al de la circunferencia dada, que nos determinarán, sobre ella, los puntos 2, 6, 3 y 5. Por último con centro en B trazaremos un arco del mismo radio, que nos determinará el punto C sobre la circunferencia dada.

     Uniendo los puntos 2, 4 y 6, obtendremos el triángulo inscrito. Uniendo los punto 1, 2, 3, 4, 5 y 6, obtendremos el hexágono inscrito. Y uniendo los puntos 3 yC, obtendremos el lado del dodecágono inscrito; para su total construcción solo tendríamos que llevar este lado, 12 veces sobre la circunferencia.

     De los tres polígonos, solo el dodecágono admite  la construcción de estrellados, concretamente del estrellado de 5. El hexágono admite la construcción de un falso estrellado, formado por dos triángulos girados entre sí 60º.

NOTA: Todas lasconstrucciones de este ejercicio se realizan con una misma abertura del compás, igual al radio de la circunferencia dada.
 
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  CUADRADO Y OCTÓGONO (construcción exacta)


     Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares entre sí, que nos determinarán, sobre la circunferencia dada, los puntos 1-5 y 3-7 respectivamente.

     A continuación, trazaremos las bisectrices de loscuatro ángulos de 90º, formados por la diagonales trazadas, dichas bisectrices nos determinarán sobre la circunferencia los puntos 2, 4, 6 y 8.

     Uniendo los puntos 1, 3, 5 y 7, obtendremos el cuadrado inscrito. Y uniendo los puntos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8, obtendremos el octógono inscrito.

     El cuadrado no admite estrellados. El octógono sí, concretamente el estrellado de 3. Eloctógono también admite la construcción de un falso estrellado, compuesto por dos cuadrados girados entre sí 45º.

NOTA: De esta construcción podemos deducir, la forma de construir un polígono de doble número de lados que uno dado. Solo tendremos que trazar las bisectrices de los ángulos centrales del polígono dado, y estas nos determinarán, sobre la circunferencia circunscrita, los vérticesnecesarios para la construcción.






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  PENTÁGONO Y DECÁGONO (construcción exacta)


     Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares entre sí, que nos determinarán sobre la circunferencia dada los puntos A- B y 1-C respectivamente. Con el mismo radio de la circunferencia dada trazaremos un arco de centro en A, que nos determinará los puntos D y E sobre la circunferencia,uniendo dichos puntos obtendremos el punto F, punto medio del radio A-O

     Con centro en F trazaremos un arco de radio F-1, que determinará el punto G sobre la diagonal A-B. La distancia 1-G es el lado de pentágono inscrito, mientras que la distancia O-G es el lado del decágono inscrito.

     Para la construcción del pentágono y el decágono, solo resta llevar dichos lados, 5 y 10 veces...