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Apunte de Números complejos o imaginarios: Representación gráfica. Complejos conjugados y opuestos. Forma trigonométrica, de De Moivre, exponencial. Operaciones. Raíces.Fórmula de Euler.

1. NUMEROS COMPLEJOS.

Los algebristas del los siglos XV y XVI, al buscar una solución para algunas ecuaciones de segundo grado, por ejemplo x ² + 1 = 0, se encontraron con
x = ±√-1. Afirmabanque las ecuaciones no tenían solución, ya que no hay ningún número real cuyo cuadrado sea un número negativo. Este hecho implicaba la conveniencia de "definir" nuevos números de la forma: a + b.i donde a y b son números reales e i es √-1 , que permitieran resolver cualquier ecuación de segundo grado. Estos nuevos números se llaman números complejos (C).
Ejemplo:
La ecuación de segundo grado:
x ²- 6.x + 34 = 0
tiene como solución:
x = (6 ± √-100)/2
que expresaremos como
x = (6 ± 10.i)/2 = 3 ± 5.i

1.1 Definición.

Se llama número complejo a toda expresión de la forma z = a + b.i donde a y b son números reales ; i es la unidad llamada imaginaria, definida por las ecuaciones: i = √-1 o i ² = -1; a es la parte real y b es la parte imaginaria del número complejo.
Si a = 0, el númerocomplejo 0 + b.i = b.i, es un número imaginario puro; si b = 0, se obtiene el número real a + 0.i = a
Dos números complejos son iguales si: (a + b.i) = (c + d.i) ⇔ a = c; b = d es decir, si son iguales sus partes reales e imaginarias por separado.
Un número complejo es igual a cero si: a + b.i = 0 ⇔ a = 0; b = 0

1.2 Representación gráfica.

[pic]
Sobre el eje de abscisas se representa laparte real a del número complejo y sobre el eje de ordenadas la parte imaginaria b. El número complejo (a, b) queda representado por el punto P(a, b) del plano de coordenadas.
A cada número complejo (a, b) corresponde un punto P que se llama su afijo, y recíprocamente, a cada punto corresponde un número complejo. De este modo queda establecida una aplicación biyectiva entre los puntos del plano ylos números complejos.
Si escribimos z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) y consideramos la relación vectorial correspondiente, podemos escribir: z = a + b.i que llamaremos forma binómica del numero complejo z . Cuando aparezca escrito como (a, b) diremos que está en forma cartesiana.
El origen de coordenadas O y el punto P determinan un vector OP que se puede considerar la representación vectorial delnúmero complejo (a, b). La longitud r del vector OP se llama módulo del número complejo a + b.i y su expresión es r = [pic]

1.3 Complejos conjugados y complejos opuestos.

Dos números complejos se llaman conjugados si tienen iguales sus componentes reales y opuestas sus componentes imaginarias. Se expresan de la forma siguiente: z = a + b.i y z = a - b.i. Gráficamente son simétricos respectodel eje real (eje de abscisas).
Dos números complejos se llaman opuestos si tienen opuestas sus dos componentes. Se expresan de la forma siguiente: z = a + b.i y - z = -a - b.i. Gráficamente son simétricos respecto del origen de coordenadas.

Propiedades:

|[pic]= z |[pic] |-z = -(z) |[pic] |
|[pic] || z | ² = z.z |Re z = (z + z)/2|ln z = (z - z)/2 |

1.4 Forma trigonométrica de un complejo.

Designemos por α y r (r ≥0) las coordenadas polares del punto P(a, b) tomando por polo el origen de coordenadas y por eje polar, la dirección positiva del eje OX. En este caso tenemos las expresiones siguientes:
|a = r.cos α |⇒ a + b.i = (r.cos α) + (r.sen α).i = r.(cos α + i.sen α) |
|b = r. sen α ||

La expresión r.(cos α + i.sen α) se llama forma trigonométrica del número complejo a + b.i y las magnitudes r y α se expresan en función de a y b mediante las fórmulas: r = [pic]b/a = tg α ⇒ α =arctg (b/a)
El número r se llama módulo y α argumento del número complejo a + b.i . Si α ∈ [ 0, 2 π [, obtenemos el...