polinomiozs

T E O R Í A D E E C U A C I O N E S

PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN
Si el polinomio es un factor del polinomio , entonces se dice que es divisible por g(x), Por ejemplo, es divisible por x-5 y para x+5. La división se puede llevar a cabo aunque g(x) no sea un factor de f(x). Este proceso es equivalente al que se utiliza con enteros. Por ejemplo los factores positivos del númeroentero 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8,12 y 24; o sea que 24 es divisible por estos números.
La situación es distinta cuando se divide el número 24 por números que no son sus factores; En estos casos se utiliza un proceso llamado división entera que involucra un cociente un residuo. Considérese este proceso en aritmética elemental donde la división de 4126 por 23 se pude practicar de la siguientemanera.

Divisor 179 Cociente
23 4126 Dividendo
23
182
161
216
207
9 Residuo

Donde el residuo siempre debe de ser menor que el divisor; de lo contrario, se puede incrementar el cociente. El resultado anterior se puede escribir comoSe puede hacer una descripción similar para polinomios. Por ejemplo el polinomio es divisible por ; pero no es un factor de , sin embargo se puede afectar la siguiente división:





Obteniendo el cociente y el residuo .

En esta división se procede como se ha indicado hasta que se obtiene un polinomio (el residuo)que sea o bien cero o de grado menor que el divisor o igual que con los enteros, el resultado de esta división se puede expresar como:









f(x) g(x) q(x) r(x)Dividendo Divisor Cociente Residuo


Si f(x) y g (x) son polinomios y si , entonces existen polinomios únicos q(x) y r (x) tales que f(x)=g(x)q(x)+r(x), donde o bien r(x)=0 o el grado de r(x) es menor que el de g (x). El polinomio q(x) se llama cociente y r(x) se llama residuo de la división de f(x) por g(x).


Un casoespecial ocurre cuando se divide f(x) por un polinomio lineal de la forma x-c, donde c es un número real. Si x-c es un factor de f (x) entonces: f(x)=(x-c) q(x) para algún polinomio q (x), donde el residuo de r(x) es cero. Si x-c no es un factor de f (x) y por lo tanto r(x) deberá ser de grado cero. Esto significa que el residuo es un número real distinto de cero. Por consiguiente, paracualquier casa se tiene f(x)=(x-c)q(x)+d si sustituye “c” por “x” , se obtiene f(c)=(c-c)q(c)+d que se reduce a f(c)=d esto es
f (x)=(x-c)q(x)+f .

Con lo anterior queda demostrado el siguiente teorema.

TEOREMA DEL RESIDUO.- Si un polinomio f(x) se divide por x-c, donde c es un número real, entonces el residuo es f .

Ejemplo: Sea f(x)=, usar el teorema del residuo para encontrar f(2).Solución: Según el teorema del residuo, f (2) es el residuo cuando se divide f (x) por x-2. Si se efectúa la división, se obtiene:


x- 2





f(2)








Para comprobar se sustituye directamente





TEOREMA DEL FACTOR.- x-c es un factor del polinomio f(x) si y sólo si f(c) =0

Demostración:

Por el teorema del residuo, f(x)=(x-c)q(x)+f(c) para algún cociente q(x), si f(c)=0, entonces f(x)=(x-c) q(x); esto es, x-c es un factor de f(x). Recíprocamente, si x-c es un factor de polinomio entonces el residuo resultante al dividir f(x) por x-c debe ser cero y por lo tanto, por el teorema del residuo, debe ser f(c)=0.

Como se muestra en el siguiente...