Polinomis

Polinomis i Fraccions algèbriques


Monomis

Un monomi és una expressió del tipus: a x n , on

a: és un nombre real anomenat coeficient del monomi.
n: és un nombre natural o zero que indica el grau del monomi.
x: és la variable o la indeterminada del monomi.

Exemples:
|monomi |coeficient |grau |variable|
|2 x 3 |2 |3 |x |
| y 4 | |4 |y |
|z 5 ||5 |z |


Dos monomis són semblants quan tenen la mateixa indeterminada i el mateix grau. Exemple: - 4 z 3 i 5 z 3 són semblants.
Dos monomis són oposats quan són semblants i els coeficients són oposats. Exemple: 3 y 4 i -3 y 4 són oposats.


Operacions amb monomis

suma i resta de monomis. Només podem sumar o restar monomissemblants. El resultat és un altre monomi semblant de coeficient suma o resta dels coeficients.

Exemples:
2 x 2 + 5 x 2 = (2 + 5) x 2 = 7 x 2
3 y - y = (3 - )y = y

multiplicació de monomis. El resultat és un monomi de coeficient producte dels coeficients i grau suma dels graus.

Exemple:
2 x 3 · 5 x 2 = (2 · 5) x 3 + 2 = 10 x 5

divisió de monomis. Només podem dividirmonomis si el grau del dividend és més gran o igual que el grau del divisor i el coeficient del divisor és diferent de zero. El resultat és un altre monomi de coeficient quocient dels coeficients i grau resta dels graus.

Exemple:
= z 5 - 2 = 2 z 3
potència de monomis.

Exemple:
(5 r 3 )2 = 5 2 · r 3 · 2 = 25 r 6


Polinomis

S'anomena polinomi en la indeterminada x qualsevolexpressió algèbrica del tipus:

P(x) = an x n + an-1 x n-1 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0
on:
n: és un nombre natural o zero anomenat grau del polinomi.
an , an-1 , ..., a2 , a1 , a0 : són nombres reals amb an 0, els coeficients.
a0 : és el terme independent.
an : és el coeficient principal.

Exemples:

|polinomi |variable |grau |coeficientprincipal |terme |
| | | | |independent |
|2 x 3 + 4 x 2 - |x |3 |2 |- |
|t 4 + 2 t 3 - t 2 - t + |t|4 |1 | |
|z 5 |z |5 | |0 |


No són polinomis:

, 5 x 4 - + 3 , y 3 + 5 y +

Direm que un polinomi és complet quan posseeix un terme de cada grau, des del termede major grau al de grau zero. Quan li falta algun terme en diem polinomi incomplet.

Dos polinomis són iguals si tenen iguals els coeficients dels temes del mateix grau.

El valor numèric del polinomi P(x) per a x = a és el nombre real que s'obté en substituir la variable x pel nombre real a. Es representa per P(a).

Exemple: El valor numèric del polinomi P(x) = - x 3 + 5 x 2 + 3 x - 7 pera x = 2, és:
P(2) = - 2 3 + 5 · 2 2 + 3 · 2 - 7 = - 8 + 20 + 6 - 7 = 11, i, per tant, P(2) = 11.

Direm que el nombre real a és arrel o zero del polinomi P(x) si el valor numèric del polinomi, per a x = a, és 0.


Exemple: x = 2 és una arrel del polinomi P(x)=x 3 - 3 x - 2, perquè
P(2) = 2 3 - 3 · 2 - 2 = 0.

Operacions amb polinomis

suma de polinomis. El polinomi suma de dos...