Polinomis

Tema 2. Polinomis i Fraccions algèbriques
Monomis
Un monomi és una expressió del tipus: a x n , on
a: és un nombre real anomenat coeficient del monomi.
n: és un nombre natural o zero que indica el grau del monomi.
x: és la variable o la indeterminada del monomi.
Exemples:
monomi
2x3
π y4
5
− z5
3

coeficient
2
π
5
−
3

grau
3
4

variable
x
y

5

z

Dos monomis sónsemblants quan tenen la mateixa indeterminada i el mateix grau.
Exemple: - 4 z 3 i 5 z 3 són semblants.
Dos monomis són oposats quan són semblants i els coeficients són oposats.
Exemple: 3 y 4 i -3 y 4 són oposats.

Operacions amb monomis
•

suma i resta de monomis. Només podem sumar o restar monomis semblants. El
resultat és un altre monomi semblant de coeficient suma o resta delscoeficients.
Exemples:
2 x 2 + 5 x 2 = (2 + 5) x 2 = 7 x 2
2
2
7
3yy = (3 - )y =
y
3
3
3
• multiplicació de monomis. El resultat és un monomi de coeficient producte dels
coeficients i grau suma dels graus.

Exemple:
2 x 3 · 5 x 2 = (2 · 5) x 3 + 2 = 10 x 5
•

divisió de monomis. Només podem dividir monomis si el grau del dividend és més
gran o igual que el grau del divisor i elcoeficient del divisor és diferent de zero. El
resultat és un altre monomi de coeficient quocient dels coeficients i grau resta dels
graus.
Exemple:

6z 5
•

3z 2
potència de monomis.

=

6 5-2
z
=2z3
3

Exemple:
(5 r 3 )2 = 5 2 · r 3 · 2 = 25 r 6

Polinomis
S'anomena polinomi en la indeterminada x qualsevol expressió algèbrica del tipus:

P(x) = an x n + an-1 x n-1 + ... + a2x 2 + a1 x + a0
on:

n: és un nombre natural o zero anomenat grau del polinomi.
an , an-1 , ..., a2 , a1 , a0 : són nombres reals amb an ≠ 0, els coeficients.
a0 : és el terme independent.
an : és el coeficient principal.
Exemples:
polinomi

variable

3
5
4
t 4 + 2 t 3- 2t 2 - t + π
7
1
− z5
3
2x3+4x2-

grau

coeficient principal

x

3

2

t

4

1

z

5

−1
3

terme
independent
3
5

π
0

No són polinomis:

1
3x

2

,

5x4-

x +3 ,

y3+5y +

1
y

Direm que un polinomi és complet quan posseeix un terme de cada grau, des del
terme de major grau al de grau zero. Quan li falta algun terme en diem polinomi
incomplet.
Dos polinomis són iguals si tenen iguals els coeficients dels temes del mateix grau.
El valor numèricdel polinomi P(x) per a x = a és el nombre real que s'obté en
substituir la variable x pel nombre real a. Es representa per P(a).
Exemple: El valor numèric del polinomi P(x) = - x 3 + 5 x 2 + 3 x - 7 per a x = 2, és:
P(2) = - 2 3 + 5 · 2 2 + 3 · 2 - 7 = - 8 + 20 + 6 - 7 = 11, i, per tant, P(2) = 11.

Direm que el nombre real a és arrel o zero del polinomi P(x) si el valor numèric delpolinomi, per a x = a, és 0.
Exemple: x = 2 és una arrel del polinomi P(x)=x 3 - 3 x - 2, perquè P(2) = 2 3 - 3 · 2 - 2 =
0.

Operacions amb polinomis
• suma de polinomis. El polinomi suma de dos polinomis és el que s'obté en sumar els
termes semblants d'ambdós polinomis.

Exemple: P(x) = 5x2 + 3x – 7 i Q(x) = x3 - 2x2 + 5x + 1,
P(x) + Q(x) = (5x2 + 3x – 7) + (x3 - 2x2 + 5x + 1) = x3 + (5x2 -2x2) + (3x + 5x) + (-7 + 1) =
x3 + 3x2 + 8x – 6.
• resta de polinomis. El polinomi resta de dos polinomis és el que s'obté en sumar al
minuend l'oposat del subtrahend.

Exemple: P(x) = 5x2 + 3x – 7 i Q(x) = x3 - 2x2 + 5x + 1,
P(x) - Q(x) = (5x2 + 3x – 7) - (x3 - 2x2 + 5x + 1) = - x3 + (5x2 + 2x2) + (3x - 5x) + (-7 - 1) =
- x3 + 7x2 - 2x – 8.
•

multiplicació de polinomis. El polinomiproducte de dos polinomis és el polinomi que
resulta en multiplicar cadascun dels termes de l'un per tots els termes de l'altre i sumar
els termes semblants.
Exemple: P(x) = 5x2 + 3x – 7 i Q(x) = x3 - 2x2 + 5x + 1,

P(x) · Q(x) = ( 5x2 + 3x – 7) · (x3 - 2x2 + 5x + 1) =
= (5x5 - 10x4+ 25x3+ 5x2) + (3x4 - 6x3 + 15x2 + 3x) + (-7x3 + 14x2 - 35x – 7) =
= 5x5 + (-10x4 + 3x4) + (25x3 - 6x3 - 7x3) +...