Polígonos Regulares Con Regla Y Compás

POLÍGONOS REGULARES CON REGLA Y COMPÁS

CLARA PAMELA PEREZ1 ANTONIO SÁNGARI1,2

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Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias Exactas, Universidad Nacional de Salta
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Consejo de Investigación de la Universidad Nacional de Salta
1. Fundamentación

En el presente trabajo describimos una propuesta de enseñanza de nivel universitario sobre la construcción de polígonos regularescon regla y compás usando la asistencia del soft libre Geogebrahttp://www.geogebra.org/cms/. El problema que abordamos es el desarrollo de procedimientos para construir aquellos polígonos regulares que puedan ser construidos con regla y compás [2]. Como es trabajoso y lento este tratamiento con regla y compás, usaremos la asistencia del Geogebra y por lo tanto daremos una ejemplos de su uso,particularmente su habilidad para tratar con Macros y para generar páginas web.
2. Desarrollo

2.1.

Los polígonos regulares.

Sabemos que los únicos polígonos regulares construibles, son aquellos cuya descomposi-

ción en factores primos del número de lados es un producto de primos de Fermat por potencias de dos. Además, los primos de Fermat que aparecen, lo hacen solamente a la primerapotencia. Ejemplos de polígonos construibles con cantidad de lados un número primo son el triángulo equilátero, el pentágono regular, el heptadecágono regular, y el polígono regular de 257 lados. Ejemplos de polígonos construibles con cantidad de lados una potencia de 2 es el cuadrado, el octógono regular y el exadecágono regular. El polígono regular de 30 lados se puede construir con regla y compás, yaque 30 es el producto de 2 , 3 y 5, que es una potencia de 2, el primer primo de Fermat y el segundo primo de Fermat, respectivamente. Un polígono regular que no es construible es el heptágono. La razón es que 7 no es un primo de Fermat. Tampoco es construible el eneágono regular pues 9 es y entonces, aunque 3 es un primo de Fermat, no aparece a la primera potencia.
2.2. El Geogebra.

En pocaspalabras, GeoGebra es un software matemático interactivo libre, principalmente diseñado
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para la educación en todos los niveles educativos. Principalmente se lo usa para

Geo metría y Ál

gebra.

El uso que le

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dimos a este soft para el desarrollo de este trabajo es la construcción de herramientas que permitan la construcción depolígonos regulares con regla y compás.
2.3. Notaciones y convenciones.

Para hacer las construcciones de abscisas, elegiremos dos puntos distintos en el
−→ −

plano, O y U , y le asignaremos las abscisas 0 y 1 respectivamente. Las demás abscisas construibles se referirán a estas dos primeras. Para lograr mayor agilidad en la comunicación usaremos un pequeño abuso de notación: a la semirrecta OU lellamaremos positiva o de la derecha y a la semirrecta opuesta, negativa o de la izquierda. Incluso, a veces nos referiremos a un punto por su abscisa.
2.4. Construcciones de Polígonos Regulares.

Si es posible construir las raíces complejas de la ecuación:
xn − 1 = 0

(2.1)

para algún n determinado, podremos construir los vértices de un n-gono regular de radio unitario. Si cumple con lascondiciones de construtibilidad enunciadas más arriba, el problema se reduce a encontrar la primera raíz compleja de la ecuación . Más concretamente, si encontramos la parte real de dicha raíz, trazando una perpendicular al eje real por ese punto habremos encontrado la raíz buscada. Ejempliquemos el procedimiento para el heptadecágono regular[1]:
2.4.1. Construcción del heptadecágono regular enforma algebraica.

Sean ζ i , 1 ≤ i ≤ 16 las raíces complejas de la ecuación

(2.1) con n = 17. Llamemos λi = ζ i + ζ 17−i , 1 ≤ i ≤ 8 a las sumas de los pares de raíces conjugadas. Teniendo en cuenta que ζ i ζ 17−i = 1, es claro ζ i y ζ 17−i son las raíces del polinomio x2 − λi x + 1 Llamemos ξ1 = λ1 + λ4 , ξ2 = λ2 + λ8 , ξ3 = λ3 + λ5 y ξ4 = λ6 + λ7 Entonces λ1 · λ4 = ζ 1 + ζ 16
ζ 4 + ζ 13...