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Matriz triangular
En álgebra lineal, una matriz triangular es un tipo especial de matriz cuadrada cuyos elementos por encima o por debajo de sudiagonal principal son cero. Debido a que los sistemas de ecuaciones lineales con matrices triangulares son mucho más fáciles de resolver, las matrices triangulares son utilizadas en análisis numérico para resolver sistemas de ecuaciones lineales,calcular inversas y determinantes de matrices. El método de descomposición LU permite descomponer cualquier matriz invertible como producto de una matriz triangular inferior L y una superior U.

|Índice |
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|1 Descripción |
|2 Ejemplos|
|3 Propiedades de las matrices triangulares |
|4 Aplicaciones |
|5 Véase también |


[editar]Descripción

Una matriz cuadrada de orden n se dice que es triangular superior si es de la forma:

[pic]
Análogamente, una matriz de la forma:

[pic]
se dice que esuna matriz triangular inferior.

Se suelen emplear las letras U y L, respectivamente, ya que U es la inicial de "upper triangular matrix" y L de "lower triangular matrix", los nombres que reciben estas matrices en inglés.

[editar]Ejemplos

[pic]
Esta matriz es triangular superior.

[pic]
Esta matriz es triangular inferior.[editar]Propiedades de las matrices triangulares

• Una matriz triangular superior e inferior siempre diagonaliza en una base de vectores propios(matriz diagonal).
• El producto de dos matrices triangulares superiores (inferiores) es un matriz triangular superior (inferior).
• La transpuesta de una matriz triangular superior es una matriz triangular inferiory viceversa.
• El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal.
• Una matriz triangular es invertible si y solo si todos los elementos de la diagonal son no nulos. En este caso, la inversa de una matriz triangular superior (inferior) es otra matriz superior (inferior).
• Los valores propios de una matriz triangularson los elementos de la diagonal principal.
[editar]Aplicaciones

Un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial

[pic]
o

[pic]
es muy fácil de resolver. El primer sistema puede escribirse como

[pic]
que puede resolverse siguiendo un simple algoritmo recursivo

[pic][pic]

[pic]
[pic]
De forma análoga puede resolverse un sistema dado por una matriz triangular superior.

[editar]Véase también

Matriz simétrica
Una matriz es simétrica cuando es una matriz cuadrada, y es igual a su traspuesta.


Una matriz de [pic] elementos:

[pic]
es simétrica, si es una matrizcuadrada (m = n) y [pic] para todo i distinto de j con i, j =1,2,3,4,...,n. Nótese que la simetría es respecto a la diagonal principal.

Ejemplo para n = 3:

[pic]
A es también la matriz traspuesta de sí misma: [pic]. Esta última igualdad es una definición alternativa de matriz simétrica. Las matrices simétricas son un caso particular de las matrices hermíticas.[editar]Propiedades

Uno de los teoremas básicos que concierne este tipo de matrices es el teorema espectral de dimensión finita, que dice que toda matriz simétrica cuyos elementos sean reales es diagonalizable. En particular, es semejante a una matriz ortogonal.

[editar]Autovalores

Como las matrices simétricas son un caso particular de las matrices hermíticas, todos...