postulados de campo y orden

Un campo F es un sistema compuesto de un conjunto S de elementos a, b, c,... y dos operaciones, llamadas adición y multiplicación, que pueden ser realizadas sobre dos elementos cualesquiera (iguales o distintos) a y b de S , tomados en ese orden, para producir únicamente elementos determinados a b y a b de S tales que satisfagan los postulados I - V. Para simplificar escribiremos a + b en vezde a b y ab en vez de a b , y los llamaremos la suma y el producto, respectivamente, de a y b . De todos modos, los elementos de S serán llamados elementos de F. 
Si a y b son dos elementos cualesquiera de F, a + b y ab son elementos determinados de F , y 

b + a = a + b
ba = ab.
  Si a, b, c, son tres elementos de F, 

(a + b) + c = a + (b + c),

(ab)c = a(bc), 

a(b + c) = ab +ac.
1. Existen en F dos elementos distintos, que se representan por 0 y 1, tales que si a es un elemento de F, a + 0 = a , a1 = a (de aquí 0+ a = a , 1 a =a , en virtud de I).
2. Cualquiera que sea el elemento a de F , existe en F un elemento x    tal que a + x = 0 (de aquí x + a = 0 en virtud de l).
3. Cualquiera que sea el elemento a (distinto de 0) de F, existe ,en F un elemento y tal que ay= 1 (de aquí ya = 1, en virtud de I).
De estos simples postulados se deduce la totalidad del Álgebra ordinaria. Unas cuantas palabras acerca de algunos de los enunciados pueden ser útiles para aquellos que desde hace tiempo no se ocupan del Álgebra. En II, el enunciado
(a + b) + c = a + (b + c),
se llama la ley asociativa de la adición, o sea que si se suma a y b y a esta suma se añade elresultado es el mismo que si se suma a a , a suma de b y c. Lo mismo ocurre respecto de la multiplicación para el segundo postulado enunciado en II. El tercer enunciado en II se llama la ley distributiva. En III, se postula la existencia del "cero" y de la "unidad"; en IV, se admite la existencia de los números negativos, y la primera observación entre paréntesis en V, impide la "división por cero".Las exigencias del postulado I se llaman las leyes conmutativas de adición y multiplicación respectivamente. 
Tal sistema de postulados puede ser considerado como una destilación de la experiencia. Siglos de trabajo con los números y la obtención de resultados útiles siguiendo las reglas de la Aritmética, a las que se llegó empíricamente, sugieren la mayor parte de las reglas sintetizadas en esospostulados precisos, pero una vez comprendidas las sugestiones de la experiencia, la interpretación (Aritmética común) proporcionada por la experiencia es deliberadamente suprimida u olvidada, y el sistema definido por los postulados se desarrolla abstractamente por sus propios medios, por la vía lógica común más matemática. 
Obsérvese en particular el postulado IV que admite la existencia de losnúmeros negativos. No intentaremos deducir la existencia de negativos con el mismo comportamiento que los positivos. Cuando los números negativos aparecieron por primera vez en la experiencia, como en el "debe" en lugar del "haber", provocaron el mismo horror que las monstruosidades "no naturales" que más tarde serían los números "imaginarios" -1, -2, etc., que surgen de la soluciónformal deecuaciones como x 2 + 1 = 0 , o x 2 + 2 = 0, etc. 
Si el lector se remonta a lo que Gauss hizo para los números complejos, apreciará mejor la mayor simplicidad del camino seguido por Hamilton para despojar a los "imaginarios" de su misterio inocente, puramente imaginario. Esta cosa tan sencilla fue uno de los pasos que condujo a Hamilton a sus cuaternios, aunque estrictamente nada tenga que vercon ellos. Es el método y el punto de vista que existe tras esta ingeniosa refundición del Álgebra de los números complejos los que tienen importancia para las consecuencias. 
Si como es usual i denota -1, un "número complejo" es un número del tipo a+ bi , donde a, b son "números reales", o si se prefiere, y de modo más general, elementos del campo F definido por los postulados mencionados. En...