Sistema de números reales en un campo ordenado completo

SISTEMA DE NÚMEROS REALES EN UN CAMPO ORDENADO COMPLETO

El sistema de números reales es un campo ordenado completo, propiedad que no cumple el campo de los complejos.
Definición: Un conjunto novacío P de elementos de un campo F tal que satisface las siguientes condiciones:
a)     Si a, bP a+bP
b)     Si a, bP abP
c)      Si aF, aP -aP a=0
Entonces se dice de la clase de P que esuna clase positiva de F
Esto se refiere a que en la clase de los positivos, la suma y el producto son cerrados, y además se refiere a que para un elemento en F, este elemento cumple la ley de latricotomía. Es decir, o pertenece a los positivos, o a los negativos o es cero, pero cabe notar que este “o” es exclusivo, es decir, o pertenece uno a los positivos o su inverso aditivo pertenece, sininguna de las dos cumple es el cero, pero no puede existir un aF tal que aP y -aP, o alguna combinación de cualesquiera opciones.
Teorema 1
Si a, b, c F un campo ordenado, entonces:
a)     Sia>b y b>c, entonces, a>c
b)     Si a, b F a>b a=b a<b
c)      Si a b y b a a=b

Demostración: 1
a)     Si a>b (a-b)P, por otra parte si, b>c (b-c)P, (a-b)+(b-c)P(a-c)P a>c
b)     Si a, bF (a-b)P -(a-b)=(b-a)P (a-b)=0 a>b a=0 b>a
c)      Si a b (b-a) P, por otra parte ba (a-b)P, por tricotomía a-b=0 a = b

Teorema: 2
Sea F un campoordenado, entonces:
 
a)     Si a 0 a2>0
b)     1>0
c)      Si n es natural, n>0
 
Demostración: 2
a)     Si a 0 a P -aP
a.      Si aP a2=aaP, por cerradura de la clase delos positivos.
b.      Si -aP aP por lo que sabemos que a(-a) 0 y a(-a)P -a(-a)=a2P
b)     Por a), como 1=12 1>0
c)       Por inducción, ya probamos para 1, ahora suponiendo que kP k+1,como la suma es cerrada y 1P k+1P, con lo que queda probado el teorema

Teorema: 3
Sean a, b, c F un campo ordenado, entonces:
a)     Si a>b a+c>b+c cF
b)     Si a>b y c>d...