potencias y radicales

N´meros reales
u

1
−
3

1. Calcular:

Potencias y Ra´
ıces

Ejercicios Resueltos

−3

+ 90 · 3−1 − 3 · (−3)−2

Soluci´n:
o
1
−
3

−3

1
−
3

+ 90 · 3−1 − 3 · (−3)−2 =

=

1
−
27

=3−

3

−1

+ 90 ·

1
− 3 · ((−3)2 )−1
3

−1

+ 30 − 3 · 9−1 = −27 + 30 − 3 ·

1
9

1 8
=
3 3

2. Simplificar cada expresi´n, y escribir el resultado de maneraque contenga s´lo
o
o
exponentes positivos.
(a) (3a−5 )2 (−2a12 )3
2

−1

(b) (3a b)

1
− a−3 b5
3

−3

Soluci´n:
o
(a) (3a−5 )2 (−2a12 )3 = (32 a−10 )((−2)3 a36 )
= (9 · (−8)) · (a−10 · a36 ) = −72 a−10+36
= −72 a26

6

N´meros reales - Potencias y ra´
u
ıces

2

−1

(b) (3a b)

1
− a−3 b5
3

Ejercicios resueltos 7
−3
−1 −2 −1

=3 a b

1
−
3

−3a9 b−15

= 3−1 a−2 b−1 (−1) 33 a9 b−15
= −3−1+3 a−2+9 b−1−15 = −32 a7 b−16
9 a7
= − 16
b

3. Simplificar y expresar su valor mediante potencias con exponentes positivos.
(a) 1002 · 0.0015 · 10003
(b) 1005/2 · 20−7
Soluci´n:
o
(a) 1002 · 0.0015 · 10003 = 104 · (10−3 )5 · 109 = 104 · 10−15 · 109
= 104−15+9 = 10−2 =

1
100

(b) 1005/2 · 20−7 = (102 )5/2 · (2 · 10)−7 = 105 · 2−7 ·10−7 = 105−7 · 2−7
= 10−2 · 2−7 =
=

Inst. de Matem´tica y F´
a
ısica

1
102 · 27

1
29 · 52

Universidad de Talca

N´meros reales - Potencias y ra´
u
ıces

Ejercicios resueltos 8

4. Simplificar cada expresi´n y escribir su valor usando potencias con exponentes
o
positivos.
−3

2

81
25
:
(a)
20
24
3 · 0, 25 · 4 · (0, 5)−3 0, 5
÷
(b)
5 · 2−6 · 8
4Soluci´n:
o
(a)

81
20

−3

:

25
24

2

=

34
22 · 5

−3

:

52
23 · 3

2

=

3−12
2−6 · 5−3

·

26 · 32
54

= 3−12+2 · 26+6 · 53−4 = 3−10 · 212 · 5−1
212
= 10
3 ·5
−3

(b)

3 · 0, 25 · 4 · (0, 5)
5 · 2−6 · 8

1
1
3 · · 22 ·
0, 5
4
2
÷
=
4
5 · 2−6 · 23

−3

1
÷ 22
2

2

1
3·
· 22 · 23
2−1
2
=
÷ 2
5 · 2−6 · 23
2
3 · 2−2 · 22 ·23 22
=
· −1
5 · 2−6 · 23
2
=

3 · 22 · 23 · 26 2 1 3 · 22+3+6+2+1−2−3
·2 ·2 =
5 · 22 · 23
5

3 · 29
=
5

Inst. de Matem´tica y F´
a
ısica

Universidad de Talca

N´meros reales - Potencias y ra´
u
ıces

Ejercicios resueltos 9

5. Simplificar cada expresi´n y escribir el resultado de manera que contenga s´lo
o
o
exponentes positivos.
6
(a) (8a ) · −2
a
−a2 · (−2a)4(b)
(−2a)3 · (−a)−1

−1

6 −3

.

Soluci´n:
o
(a)

6 −3

(8a )

6
· −2
a

−1

= 8−3 a−18 · 2 · 3 · a2
−8

= 2 3·a

−16 −1

=

−1

= 2−9+1 3 · a−18+2

3
28 a16

−1

−1

28 a16
=
3
(−1) · a2 · (−2)4 · a4
−a2+4 · 16
−16 a6
−a2 · (−2a)4
=
=
=
(b)
(−2a)3 · (−a)−1
(−2)3 · a3 · (−1)−1 · a−1
(−8) · a3−1 · (−1)
8 a2
= −2 a4

1
3x · 2y
÷ x
−5· y 2
y2
5x
−2

6. Simplificar la expresi´n:
o

4

Soluci´n:
o
1
3x5 · 2y 4 x−1
3x5−2 · 2y 4−2 y 2
3x · 2y
÷ 2 =
· −1
÷ x =
y2
5x2 · y 2
y
5
x
5x−5 · y 2
−2

4

=

Inst. de Matem´tica y F´
a
ısica

6x3+1 y 2+2
6x4 y 4
3 · 2x3 y 2 2
·y ·x=
=
5
5
5

Universidad de Talca

N´meros reales - Potencias y ra´
u
ıces

Ejercicios resueltos 10

7. Simplificarla expresi´n, y expresar el resultado de manera que contenga s´lo exo
o
ponentes positivos. Suponer que todas las variables involucradas son positivas.
(3a2 b)−3 (2a2 b)−1 a
·
·
(2a−2 b)2 (6ab)−2 b
Soluci´n:
o
(3a2 b)−3 (2a2 b)−1 a
3−3 a−6 b−3
2−1 a−2 b−1
a
·
·
= 2 −4 2 · −2 −2 −2 −2 ·
(2a−2 b)2 (6ab)−2 b
2a b
2 3 a b
b
= 2−1−2+2 3−3+2 a−6−2+4+2+1 b−3−1−2+2−1
= 2−1 3−1 a−1b−5 =

1
6ab5

8. Notaci´n cient´
o
ıfica. Es la notaci´n que se usa para representar n´meros reales
o
u
positivos muy grandes ´ muy peque˜os en pocos s´
o
n
ımbolos, usando potencias de 10.
4
Por ejemplo: 30456, 2 = 3, 04562 · 10 ;
0, 000024 = 2, 4 · 10−5
As´ todo n´mero real positivo puede escribirse en notaci´n cient´
ı,
u
o
ıfica, en la forma:
t · 10n , donde t es un...