potencias

Unidad Dos
Potencias
1) Si a es un número real y n es un número natural, entonces,

a n = a ⋅ a ⋅ a ⋅ . . . . . ⋅ a , (n veces)
2) Si a es un número real distinto de cero y n es un número natural, entonces,

a −n =

1
an

3) Si a es un número real distinto de cero, entonces,

a0 =1
Propriedades de Potencias
1) a n ⋅ a m = a n + m
3) a n ⋅ b n = (a ⋅ b )

()

5) a n

m

2)a n : a m = a n − m
4) a n : b n = (a : b )

n

n

= a n⋅ m

Resuelva:

e) (3) 4 ⋅ (3) 2

c) (3) −2

b) (−2)5

a) (3) 4

f) (2)4 



3

g)

3
24

7
3

3

d)  

4

h) 2 − (3) 4

Notación científica
Un número se escribe en notación científica de la forma:

M x 10 n
Donde M es un número mayor o igual que 1 y menor que 10; y n es un númeroentero.
Ejemplo:
Escriba los siguientes números en notación científica.
a) 85.000.000 b) 54.000

c) 160.723,4 d) 7.281,3 e) 0,08

f) 0,00023

Productos Notables
1 ) B i n o mi o a l c u a dr ad o

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
E j e m p l o : ( x + 3) 2 = x 2 + 2 x3 + 32 = x 2 + 6 x + 9

2 ) S u m a p o r di fe r e n c i a

(a + b)(a − b) = a 2 − b 2
E j em p l o (2 x + 5)(2 x − 5) = 4 x 2 − 25

3 ) B i n o mi o a l c u b o

(a + b)3 = a3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b3
(a − b)3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b3
Ejemplo

(2 x − 3)3 = (2 x)3 − 3(2 x) 2 3 + 3(2 x)32 − 33
= 8 x3 − 18 x 2 + 54 x − 27

4 ) S u m a d e c u b os

a 3 + b3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 )
E j e m p l o : 8 x 3 + 27 = (2 x + 3)(4 x 2 − 6 x + 9)

5 ) D i f e r e nc i a d e c u b os

a 3 − b3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )
E j e m p l o : 8 x 3 − 27 = (2 x − 3)(4 x 2 + 6 x + 9)

6 ) P r o d u c t o d e d os b i n o m i os q ue t i e ne n u n t é r m i n o c o mú n

( x + a )( x + b) = x 2 + (a + b) x + ab
E j e m p l o : ( x + 2)( x + 3) = x 2 + 5 x + 6

Ecuaciones
Definición: Se llama ecuación a una igualdad que presenta incógnitas y que
es verdadera sólo paraalgunos valores de la incógnita:
Se llama solución de la ecuación a todo valor de la incógnita que verifique la
igualdad.
Resolver una ecuación significa encontrar el o los valores de las variables
(incógnitas) para que la igualdad sea verdadera.
Propiedades de ecuaciones:
1) Al sumar o restar la misma cantidad en ambos miembros de una
igualdad, la igualdad persiste.
2) Al multiplicar odividir por una misma cantidad a ambos miembros de
una igualdad, la igualdad persiste.
3) Al elevar a una potencia distinta de cero ambos miembros de una
igualdad, la igualdad persiste.
Ecuaciones de primer grado:

1) 4 x − 5 + x = 3 + 2 x + 4

3)

5)

x1
+ =4
43

( x − 2)
5

2

2) 2 ( 3 x − 1) − 2 ( x + 4 )  − ( 3 x + 5 ) = 0



4)

( x − 3)
+
4

2

=

x − 3 1 x−1 1
−=
+
4
3
3
8

9 x 2 + 3 x − 5 81
−
20
20

Ecuación Cuadrática o de segundo grado
La expresión ax 2 + bx + c = 0 donde a, b y c son números reales cualesquiera
y a ≠ 0 , se llama ecuación cuadrática o de segundo grado.
La solución de esta ecuación se puede obtener por factorización o aplicando
la fórmula general.
A partir de la ecuación general podemos obtener las solucionesx1 y x2.

−b ± b 2 − 4ac
x=
2a

Estudio del número de soluciones reales que posee una ecuación cuadrática
Una ecuación cuadrática puede tener a lo más dos soluciones reales.
Al número real b 2 − 4ac lo denotaremos con el símbolo delta ( ∆ ) y recibe
el nombre de DISCRIMINANTE de la ecuación ax 2 + bx + c = 0

∆ = b 2 − 4ac
Al determinar el conjunto solución de la ecuación cuadráticase presentan tres
situaciones:
i)

x1 =

Si ∆ > 0 , la ecuación posee en el conjunto solución dos números reales
distintos

−b + b 2 − 4ac
2a

x2 =

y

−b − b 2 − 4ac
2a

ii) ∆ = 0 , la ecuación posee en el conjunto solución 1 número real, ya
que x1 = x2 = x

x=

−b
2a

iii) ∆ < 0 , la ecuación no posee soluciones reales.

Estudiar un ejemplo de cada caso aplicando...