Pr ctica 1 Lab

Método de Bisección, Regla Falsa, Newton-Raphson
Reporte de Práctica No.1 (Realizada el 1/09/15)
Macías García Juan Luis
FACULTAD DE INGENIERÍA ARQUITECTURA Y DISEÑO
E-mail: juan.macias6@uabc.edu.mx

Abstract. Es de vital importancia conocer las posibilidades que ofrece un gran programa como Matlab, por ello en la presente práctica, se dio inicio a la elaboración y ejecución de algoritmosiniciando con los métodos de Bisección y Regla Falsa.

Palabras claves: Matlab, Algoritmos, Bisección, Regla Falsa.

1.- Introducción.

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. El análisis numérico trata de diseñar métodos para “ aproximar” de una manera eficiente lassoluciones de problemas expresados matemáticamente.
El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático. Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolverprocedimientos matemáticos en:
 Cálculo de derivadas  Integrales  Ecuaciones diferenciales  Operaciones con matrices  Interpolaciones  Ajuste de curvas  Polinomios Los métodos numéricos se aplican en áreas como: Ingeniería Industrial, Ingeniería Química, Ingeniería Civil, Ingeniería Mecánica, Ingeniería eléctrica, etc.

2.- Marco Teórico.

El Método de Bisección es el método máselemental y antiguo para determinar las raíces de una ecuación. Está basado directamente en el teorema de Bolzano explicado con anterioridad. Consiste en partir de un intervalo [x0,x1]tal que f(x0)f(x1) < 0, por lo que sabemos que existe, al menos, una raíz real. A partir de este punto se va reduciendo el intervalo sucesivamente hasta hacerlo tan pequeño como exija la precisión que hayamos decididoemplear.

 
El algoritmo empleado se esquematiza en la figura. Inicialmente, es necesario suministrar al programa el número máximo de iteraciones MaxIter, la tolerancia , que representa las cifras significativas con las que queremos obtener la solución y dos valores de la variable independiente, x0 y x1, tales que cumplan la relación f(x0)f(x1) < 0. Una vez que se comprueba que el intervalo departida es adecuado, lo dividimos en dos subintervalos tales que  y  y determinamos en qué subintervalo se encuentra la raíz (comprobando de nuevo el producto de las funciones). Repetimos el proceso hasta alcanzar la convergencia (hasta que ) o bien hasta que se excede el número de iteraciones permitidas (Iter > MaxIter), en cuyo caso es necesario imprimir un mensaje de error indicando que el método noconverge.

El Método de la Regla Falsa pretende conjugar la seguridad del método de la bisección con la rapidez del método de la secante. Este método, como en el método de la bisección, parte de dos puntos que rodean a la raízf(x) = 0, es decir, dos puntos x0 y x1tales que f(x0)f(x1) < 0. La siguiente aproximación, x2, se calcula como la intersección con el eje X de la recta que une ambos puntos.La asignación del nuevo intervalo de búsqueda se realiza como en el método de la bisección: entre ambos intervalos, [x0,x2] y [x2,x1], se toma aquel que cumpla f(x)f(x2) < 0. En la figura siguiente se representa geométricamente este método. 



Representación geométrica del método de la falsa posición.


El método de Newton-Raphson es un método iterativo que nos permite aproximar la solución deuna ecuación del tipo f(x)=0. Partimos de una estimación inicial de la solución x0 y construimos una sucesión de aproximaciones de forma recurrente mediante la fórmula xj+1 = xj − f(xj ) /f’(xj )

Algoritmo Bisección


2.- Objetivo


3.- Metodología.







Algoritmo Regla Falsa


3.- Código (Método de Bisección)

function y=biseccion()
a=input ('Dame el valor de a ');
b=input ('Dame el valor de...