PracticaElectronica

Control Automático

Reguladores digitales

Contenido
El control digital
Discretización del regulador PID
PID antiwindup
La función de transferencia de un sistema en
tiempo discreto
„ Formas de implementación de reguladores
digitales (filtros digitales). Ecuación de
diferencias
„ Implementación de la ecuación de diferencias
en computadores digitales
„
„
„
„

Esquema de uncontrol digital
y(t)

Computador

Discretización del PID
„ El PID ideal se puede discretizar por los

métodos de
„

Por la aproximación trapezoidal a la integral
y la aproximación de Euler a la derivada

„

Transformación bilineal o método de Tustin
(s Æ z Æ kT)

Escogencia del periodo de
muestreo
„ El periodo de muestreo Ts debe ser escogido

para que sea menor que unadécima parte de
la constante de tiempo dominante, del
sistema que se espera en lazo cerrado
1
Ts < Tdom.
10

Discretización del PID por
aproximaciones a la I y D
„ Partimos de la expresión para el PID en el

dominio del tiempo continuo
t

d
m(t ) = K P e(t ) + K I ∫ e(τ )dτ + K D e(t ) + m0
dt
0

„ Obtenemos la forma posicional del algoritmo

del PID

e(k ) − e(k − 1)
⎛ [(e(k )+ e(k − 1)]Ts
⎞
+ Int prev. ⎟ + K d
+ m0
m ( k ) = K P e( k ) + K i ⎜
2
Ts
⎝
⎠

Discretización del PID por
transformación bilineal
„ Partimos de la expresión para el PID en el

dominio de la frecuencia compleja
KP
K PID ( s ) = K P +
+ s ⋅ K PTd
Ti s
2 ( z − 1)
„ Sustituimos
s≈
T ( z + 1)

y obtenemos la forma de velocidad del
algoritmo del PID
K PTd
K PTs
[e(k ) −2e(k − 1) + e(k − 2)]
m(k ) = m(k − 1) + K P [e(k ) − e(k − 1)] +
e( k ) +
Ti
Ts

Implementación digital del PID
„ La forma de velocidad del PID se puede

simplificar a
m(k ) = m(k − 1) + A ⋅ e(k ) + B ⋅ e(k − 1) + C ⋅ e(k − 2)

donde las constantes A, B y C dependen de
KP, Ti, Td y del tiempo de muestreo TS
„ También se puede llegar a esta forma si

restamos la forma posicional delPID
evaluada en k y en k-1

Controlador PID antiwindup

¿Qué es el windup?
„ Es la acumulación de un gran valor en la

sumatoria o integral del error, debido a:
1. Saturación en los actuadores
2. Un error muy grande por
„
„

Un cambio muy grande en la consigna
Un error sostenido

Metodología de diseño del PID
antiwindup
1. Diseñar el PID ideal
2. Definir los límites de losactuadores
3. Agregar al PID ideal la compensación

antiwindup cuando se satura el actuador
a)
b)

Saturar el término integral
Suspender temporalmente la integral
(seguimiento integral)

PID antiwindup por limitación
del término I
„ El PID es no lineal e invariante
„ El diseñador impone los límites usando su

experiencia e intuición
„ Los límites son fijos para un actuador
„Fuera del rango permitido se cancela la acción I

PID antiwindup de seguimiento
integral
„ PID lineal y variante
„ Se agrega realimentación dentro del PID
„ Al existir saturación se modifica la salida v(t) del PID

para que sea igual a u(t), la acción de control sobre
la planta
„ La realimentación solamente actúa cuando hay
saturación

La función de transferencia de
un sistema entiempo discreto

Métodos de obtención
„ A partir del modelo en variables de estado en

tiempo discreto
„ A partir de la función de transferencia en

tiempo continuo
Por respuesta invariante al impulso
„ Por retenedor de orden cero (ZOH)
„ Por Tustin o transformación bilineal
„ Por mapeo de polos (solo para SISO)
„

Condiciones de la conversión
„ Dos funciones continuas en cascada sondiscretizadas; G(s) = G1(s)G2(s)
x(t)
X(s)

x*(t)
T X(z)

G1(s)

v(t)
V(s)

G2(s)

y(t)
Y(s)

y*(t)
T Y(z)

G ( z ) = Ζ{G ( s )} = Ζ{G1 ( s )G2 ( s )}
„ Dos funciones continuas son discretizadas y se

encuentran en cascada
x(t)
X(s)

x*(t)
T X(z)

G1(s)

v(t)
V(s)

v*(t)
T V*(s)

G2(s)

y(t)
Y(s)

G ( z ) = G1 ( z ) ⋅ G2 ( z ) = Ζ{G1 ( s )}⋅ Ζ{G2 (...