Preguntas 4Ta Etapa Onem 2012

OLIMPIADAS MATEMÁTICAS EN EL PERÚ CUARTA FASE
NIVEL 1
Problema 1
El producto de tres enteros positivos diferentes es 19600000 y su máximo común divisor es d. Halle el mayor valor que puede tomard.
Problema 2
En la boletería del estadio municipal solo se recibe monedas de S/. 2 y S/. 5. Al inicio del día no había dinero en la caja y al final del día la recaudación total fue de S/. 1003.Demuestre que se puede escoger un grupo de monedas cuyo valor total sea exactamente S/. 199.
Problema 3
Algunas casillas de un tablero de 10 x 10 son marcadas con una X, de la siguiente manera:

Sobreel tablero hay que colocar tiras de papel de 1 3 o 3 1 como las que se muestran a continuación:

Cada tira de papel debe cubrir exactamente tres casillas del tablero, las tiras no se puedensuperponer, y todas las casillas con una X deben quedar cubiertas. ¿Cuántas tiras se puede colocar como mínimo para que se cumplan estas condiciones?
Problema 4
En cada casilla de un tablero de 9 x 9 sedebe escribir 0 ó 1. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto si en cada subtablero de 2 x 2, en cada subtablero de 1 x 4, y en cada subtablero de 4 x1 la suma de los cuatro números siempre es par?NIVEL 2
Problema 1
En un triangulo rectángulo ABC (recto en B) se ha trazado su circunferencia inscrita, la cual es tangente al lado AB en D, al lado BC en E y al lado AC en F. Si FDC = 2DCB,demuestre que AF = BC.
Problema 2
Encuentre todas las parejas (a, b) de números reales tales que:
Problema 3
En la pizarra están escritos los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10. Una operaciónconsiste en elegir dos números a y b, y cambiar uno de ellos por a + b y el otro por |2a - b| ó |2b - a|.
a) Demuestre que después de realizar algunas operaciones es posible obtener 10 números iguales.
b)Si después de realizar algunas operaciones se consigue 10 números iguales a k, determine el menor valor que puede tomar k.
Problema 4
Una potencia es un número que se puede expresar de la forma...