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Muchos de quienes tratan esta materia hablan de raíz o de radical, usados como sinónimos. Mientras esto no afecte la comprensión del concepto no hay problema.
En estricto rigor, raíz es una cantidad que se multiplica por sí misma una o más veces para presentarse como un número determinado.
Para encontrar esa cantidad que se multiplica se recurre a la operación deextraer la raíz a partir del número determinado y se ejecuta utilizando el símbolo √, que se llama radical. Por ello es que se habla de operaciones con radicales al referirse a operaciones para trabajar con raíces.
Encontrar o extraer la raíz es realizar la operación contraria o inversa de la potenciación, así como la suma es la operación inversa de la resta y viceversa, y la multiplicación es laoperación contraria de la división y viceversa.
Para graficarlo de algún modo:
Potencia
Raíz

 
Los nombres de las partes que constituyen cada operación matemática son:
X:  Base de la potencia                                  X:   Valor de la raíz
n:  Exponente de la potencia                       n:   Índice de raíz
a:  Valor de la potencia                                     a:  Cantidad subradical (o radicando)
                                   
La raíz consiste en encontrar la base de la potencia conociendo el exponente (que en la raíz se llama índice) y la cantidad subradical.
Ejemplo:

 Cuando el índice de la raíz es 2 (raíz cuadrada), no se acostumbra por convención a colocarlo, se subentiende que es 2.

Para encontrar el valor de una raíz cuadrada se debehacer la siguiente pregunta:
¿Qué número elevado a 2 (al cuadrado) da como resultado 64?
La respuesta es 8, porque 82  =  64
   ¿Qué número elevado a 2 da como resultado 100?
La  respuesta es 10, porque 102  = 100



En general, para encontrar el valor de una raíz se debe hacer la siguiente pregunta:
¿Qué número elevado al índice de la raíz da como resultado la cantidad subradical (oradicando)?
 
Propiedades de las raíces

Debido a que las raíces pueden convertirse a potencias de exponente fraccionario, cumplen con todas las propiedades de potencias a partir de las cuales se pueden deducir las siguientes propiedades de raíces:
1) Multiplicación de raíces de igual índice:

Se multiplican las bases y se conserva el índice.

2) División de raíces de igual índice:

Se dividenlas bases y se conserva el índice.

3) Raíz de raíz:

Para obtener raíz de raíz se multiplican los índices y se conserva la base.

4) Raíz de una potencia cuyo exponente es igual al índice:

Exponente e índice se anulan entre sí, por lo tanto desaparece el radical  y la base queda aislada.

5) Propiedad de amplificación:

Tanto el índice como el exponente de la potencia puedenamplificarse por un mismo valor.

6) Ingreso de un factor dentro de una raíz:

(con la restricción que a>0 si n es par) 
Para introducir un factor dentro de una raíz se coloca el factor dentro del radical como potencia con exponente igual al índice y multiplicando a los demás factores.
Observación: las propiedades anteriores son válidas solamente en el caso de que las raíces estén definidas en losnúmeros reales.
Operaciones con radicales
 
Las raíces que se encuentran dentro del signo radical pueden realizar operaciones entre sí.
Pueden sumarse, restarse, multiplicarse o dividirse si cumplen con determinadas condiciones o reglas.
Suma y resta de radicales
Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes; es decir, si son radicales con el mismoíndice e igual radicando (o base subradical).

 


Producto o multiplicación de radicales
Multiplicar radicales del mismo índice
Se multiplican los radicando (las bases) y se conserva el índice


Multiplicar radicales de distinto índice:
Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.
Cociente o división de radicales
Dividir radicales del mismo índice
Se dividen los...