preparatoria

Este método nos permitirá resolver integrales de funciones que pueden expresarse como un
producto de una función por la derivada de otra. Más precisamente, deduciremos la fórmula
de integración por partes a partir de la regla para derivar un producto de dos funciones.
[f(x)g(x)]' = f '(x)g(x) + f(x)g'(x)
integrando en ambos lados
∫[f(x)g(x)] 'dx = ∫f ' (x)g(x) dx + ∫f (x)g'(x) dx
obtenemos:f (x)g(x) = ∫f ' (x)g(x) dx + ∫f (x)g'(x) dx
y despejando la segunda integral:
∫f (x)g'(x) dx = f (x)g(x) + ∫f '(x)g(x) dx
obtenemos finalmente la FORMULA DE INTEGRACIÓN POR PARTES.
A continuación veremos en algunos ejemplos como utilizar esta fórmula.
Ejemplo 1. Encuentre ∫ x cos(x) dx
Solución. Con el fin de utilizar la fórmula anterior, tomaremos f(x) = x y g'(x) = cos(x), es
decir elintegrando xcos(x) = f(x) g'(x)
f(x) = x g '(x) = cos(x)
f '(x) = 1 g(x) = sen(x)
∫ x cos(x) dx = xsen(x) − ∫ sen(x) dx = − xsen(x) + cos(x) + c
Observe que también hubiéramos podido hacer la siguiente elección de f y g':
f(x) = cos(x) g '(x) = x
f '(x) = -sen(x) g(x) = x2/2
sólo que la función por integrar en el lado derecho tiene un mayor grado de dificultad para
resolverse que laoriginal.
∫ x x dx = x x − ∫ − x sen(x) dx
2
cos( )
2
cos( )
2 2
NOTACIÓN. Con el fin de ser congruentes con la notación utilizada en la mayoría de los
libros del mercado, le llamaremos
u = f(x) y v = g(x) y en consecuencia du = f '(x)dx así como du = g '(x)dx. Con esta
nueva notación resolveremos los siguientes ejercicios.
Ejemplo 2. Encuentre ∫ xex dx
Solución. Utilizaremos el siguientecuadro
u = x v = ex
du = dx dv = ex dx
obsérvese que con esta notación, en vez de tomar g' (x) = ex , tomamos su diferencial
dv = ekdx y análogamente con f, permitiendo que una parte del integrando sea u y el resto
sea dv.
∫ xex dx = xex − ∫ex dx = xex − ex + c
En estos primeros dos ejemplos, una adecuada elección de u y dv nos lleva en un solo paso
a resolver nuestra integral reduciéndola auna integral más fácil de resolver.
Existen otras situaciones, como se verá en los siguientes ejemplos, en que si bien la integral
del lado derecho tiene un menor grado de dificultad, no es una integral inmediata, requiere
de un nuevo proceso de integración por partes ó resolverla por cambio de variable, ó algún
otro procedimiento.
Ejemplo 3. Encuentre ∫ x2ex dx
Solución. Utilizaremos elsiguiente cuadro
u = x2 v = ex
du = 2xdx dv = ex dx
∫ x2ex dx = x2ex − 2∫ xex dx
la integral del lado derecho se resuelve por partes (Ejemplo 2), obteniendo:
∫ x2ex dx = x2ex − 2(xex − ex ) + c
Observación: La elección u = ex, dv = x2dx nos lleva a una integral con un mayor grado de
dificultad.
Ejemplo 4. Encuentre ∫arctan x dx
Solución. Utilizaremos el siguiente cuadro
u = arctanx v = xdu = 1 x2
dx
+
dv = dx
∫ ∫ +
= − dx
x
x dx x x x 1 2
arctan arctan
En este caso, la integral del lado derecho se resuelve por un cambio de variable,
obteniendo:
dx x c
x
dx x
x
x = + +
+
=
+ ∫ ∫ ln(1 )
2
1
1
2
2
1
1
2
2 2
y en consecuencia:
∫ x dx = x x − ln(1+ x ) + c
2
arctan arctan 1 2
Ejemplo 5. Encuentre ∫sen2 (x) dx
Solución. Utilizaremos el siguiente cuadrou = senx v = -cosx
du =cos dx dv = senx dx
sen2 (x) dx senx cos x cos2 (x) dx senx cos x cos2 (x) dx ∫ = − − ∫ − = − + ∫
La integral del lado derecho, al parecer tiene el mismo grado de dificultad que la integral
original, incluso es de la misma naturaleza que la original, lo que nos sugiere utilizar de
nuevo el método de integración por partes
u = cosx v = senx
du =-sen dx dv = cos dxcos2 (x) dx senx cos x sen2 (x) dx senx cos x sen2 (x) dx ∫ = − − ∫ − = + ∫
que al sustituirse nos da:
sen2 (x) dx senx cos x cos2 (x) dx senx cos x senx cos x sen2 (x) dx ∫ = − + ∫ = − + + ∫
obteniendo la identidad
sen2 (x) dx senx cos x senx cos x sen2 (x) dx ∫ = − + + ∫
en la que si dejamos en el lado izquierdo las integrales, obtenemos 0 = 0, que no nos ayuda
a encontrar el valor de...