Primitivas

1.01
1.02
1.03
1.04
1.05
1.06
1.07
1.08
1.09
1.10
1.11
1.12

Requisitos previos .............................................................................. 2
Primitiva de una función .................................................................. 3
El problema del cálculo de primitivas ............................................ 5
Primitivas inmediatas........................................................................ 6
Funciones hiperbólicas ..................................................................... 21
Cálculo de primitivas "por partes" .................................................. 34
Cambio de variable ............................................................................ 45
Primitiva de un cociente de polinomios........................................ 50
Funciones racionales del seno y el coseno .................................... 71
Funciones racionales de las funciones "sh" y "ch" ...................... 84
Primitivas de algunas funciones irracionales ................................. 92
Cálculo de primitivas por reducción .............................................. 107

Me temo que
esto no me va
a gustarmucho

Tema 1: Cálculo de Primitivas

El primer tema
es bastante petardete, pero
luego la cosa se
anima mucho y
lo pasarás bomba resolviendo
problemas de la
vida real

1

1.1 REQUISITOS PREVIOS
Se supone que el lector está más que familiarizado con las reglas de derivación y es
capaz de obtener en un instante la "función derivada" de cualquier función que se
cruce en su camino.
Noobstante, por si hay algún despistado, recordemos las reglas de derivación:

01) f ( x ) = cons tan te

⇒ f '( x ) = 0

02 ) f ( x ) = k. u( x )

⇒ f '( x ) = k. u '( x )

03) f ( x ) = u( x ) + v( x )

⇒ f '( x ) = u '( x ) + v '( x )

04 ) f ( x ) = u( x ). v( x )
06) f ( x ) = ( u( x )) k

⇒ f '( x ) = u '( x ). v( x ) + u( x ). v '( x )
u '( x ). v( x ) − u( x ). v '( x )
⇒f '( x ) =
( v( x ))2
⇒ f '( x ) = ( u( x ))k −1 . u '( x )

07) f ( x ) = k u( x )

⇒ f '( x ) = u '( x ). k u( x ) . Ln k

08 ) f ( x ) = Ln u( x )
10 ) f ( x ) = sen u( x )

⇒ f '( x ) = u '( x ) / u( x )
u '( x )
⇒ f '( x ) =
u( x ). Ln k
⇒ f '( x ) = u '( x ).cos u( x )

11) f ( x ) = cos u( x )

⇒ f '( x ) = − u '( x ). sen u( x )

12 ) f ( x ) = tg u( x )

⇒ f '( x )= u '( x ) / cos2 u( x )

13) f ( x ) = ctg u( x )

⇒ f '( x ) = − u '( x ) / sen 2 u( x )

14 ) f ( x ) = sec u( x )

⇒ f '( x ) = u '( x ).sec u( x ). tg u( x )

15) f ( x ) = cos ec u( x )

⇒ f '( x ) = − u '( x ).cos ec u( x ). ctg u( x )
u '( x )
⇒ f '( x ) =
1 − ( u( x ))2
u '( x )
⇒ f '( x ) = −
1 − ( u( x ))2
u '( x )
⇒ f '( x ) =
1 + ( u( x ))2
u '( x )
⇒ f '( x ) =−
1 + ( u( x ))2
u '( x )
⇒ f '( x ) =
u( x ). ( u( x ))2 − 1
u '( x )
⇒ f '( x ) = −
u( x ). ( u( x ))2 − 1

05) f ( x ) = u( x ) / v( x )

09) f ( x ) = log k u( x )

16) f ( x ) = arc sen u( x )
17) f ( x ) = arc cos u( x )
18 ) f ( x ) = arc tg u( x )
19) f ( x ) = arc ctg u( x )
20 ) f ( x ) = arc sec u( x )
21) f ( x ) = arc cos ec u( x )

Tema 1: Cálculo de Primitivas2

1.2 PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN
Se dice que la función F:ℜ α ℜ es una primitiva de la función f :ℜ α ℜ si
"f" es la función derivada de "F", es decir, si en todo punto "x" en que "F" tiene
derivada finita sucede que dF( x )/dx = f ( x ) ; para expresarlo escribimos:

z

f ( x ). dx = F( x )

Es habitual abusar del concepto diciendo que F( x ) es una primitiva de f ( x ) .
•Propiedades

∗

z

( f ( x ) + g ( x )). dx =

z

∗ Siendo "k" una constante, es:

f ( x ). dx +

z

z

g ( x ). dx

z

k . f ( x ). dx = k . f ( x ). dx

• Observa: si F( x ) es una primitiva de f ( x ) , es decir, si
dF( x )
= f (x )
dx
entonces, por ejemplo, sucede que:
d( F( x ) + 19)
d( F( x ) − 32 )
d( F( x ) + p )
= f (x ) ;
= f (x ) ;
= f (x )
dx
dx
dx
lo...