Principios De Analisis Matemático - Rudin

Universidad Nacional de Colombia Sede Bogot´
a
Introducci´n al An´lisis Real
o
a
Edinson Alberto Lara Silva - C´digo: 153719
o
Primer Examen Parcial - Correci´n
o
1. Dado a > 0 en R y n ∈ Z+ cualquiera, existe un unico n´mero real b > 0 tal que bn = a
´
u
Demostraci´n
o
EXISTENCIA
Consideremos el siguiente conjunto
X = {r ∈ R | r > 0 y rn < a}
Veamos que X = ∅
Si a > 0, por laDesigualdad de Bernoulli, tenemos:

(1 + a)n

≥
=⇒

(1 + na)n

>

(1 + na)
(1 + na) > a
a

Ahora, si x ∈ X entonces:
xn < a < (1 + a)n =⇒ xn < (1 + a)n
Es decir:
x < 1 + a Para todo x ∈ X

1

Luego X est´ acotado superiormente y por lo tanto X tiene Supremo.
a

Sea b = Sup X como R es un cuerpo ordenado, R satisface los Aximas de Orden, por
el axioma 2 se tiene que puedeocurrir, una y s´lo una de las siguientes alternativas:
o

bn < a
bn > a
bn = a
Caso I.
Si bn < a entonces, por la Propiedad Arquimediana existe un n´mero natural k
u
tal que

k (a − bn ) > 1
luego se tiene que:
bn +
As´
ı
b+

1
≥0;
k

Ahora
b+
Esto es contradictorio, pues

1
k

b+

1
k

1
k

1
k

a entonces, nuevamente por la Propiedad Arquimediana existeun n´mero
u
natural k tal que

k (bn − a) > 1
Luego se tiene que:
bn −

1
k

> a;

2

bn −

1
k

≥0

As´
ı

1
k

n

=⇒ xn < a <

b−
1
k

n

=⇒ xn <

x∈X

1
k

1
≥ Sup X = b =⇒ − k ≥ 0; Esto

=⇒ x <

b−
b−

1
k

1
Luego b − k tambien es cota superior de X , b −
1
es contradictorio, pues k ≥ 0 Para todo k ∈ N

Entonces por Aximas de Ordenbn = a, esto es, X = ∅
UNICIDAD
Sean b > 0, c > 0, b, c ∈ R tal que:
1

bn = a =⇒ b = a n
1

cn = a =⇒ c = a n
1

b = an = c
Por lo tanto b = c

2. Sea X un subconjunto de un espacio m´trico (X, d). Demuestre que p ∈ X si, y solo
e
si, toda bola con centro p contiene una infinidad de puntos de X
⇒) Sea (X, d) un espacio m´trico y X subconjunto del espacio m´trico
e
e
Supongamosque p ∈ X y que existe una bola con centro en p y radio r > 0 que
contiene n puntos de X
Consideremos lo siguiente
Sea G = {a1 , a2 , · · · an }; G ⊂ X un conjunto finito de puntos que est´n alrededor de p
a
r = min {d(p; a1 ), d(p; a2 ), d(p; a3 ), · · · , d(p; an )}
r
r
r
Luego consideremos B (p; 2 ), luego 2 ≤ r para todo r > 0, es decir, que B (p; 2 ) no
contiene ning´n punto de G ypor lo tanto p no es punto de acomulaci´n de X , esto
u
o
niega el hecho de que x ∈ X , luego toda bola con centro en p contiene una infinidad
de puntos de X

3

⇐) Por definici´n de punto de acomulaci´n. Dado que toda bola con centro en p
o
o
contiene una infinidad de puntos de X , claramente B (p; r) ⊂ X en particular, p ∈
B (p; r) entonces para toda bola con centro en p y radio r > 0al intersectarla con X ,
la intersecci´n es no vac´ luego p ∈ X
o
ıa,
3. Demuestre que los l´
ımites de subsucesiones de una sucesi´n (xn ) en un espacio m´trico
o
e
M forman un subconjunto cerrado de M
Un conjunto F ⊂ M se dice cerrado cuando F c es abierto
Un conjunto F en un espacio m´trico (X, d) es cerrado si y solo si F es igual a
e
la adherencia de F , es decir, F = F = F ∪ FConsideremos E formado por todos los limites de subsucesiones de (xn ), E = E ∪ E ?
Debemos demostrar una igualdad entre conjuntos, doble contenencia, entonces:
⊆) Por teoria de conjuntos, claramente E ⊆ E ∪ E
⊇) Si x ∈ E entonces x ∈ E − {x}, luego tenemos dos casos:
x ∈ E − {x} ´ x ∈ E − {x}
o/

x ∈ E − { x}

=⇒ x ∈ E ∧ x ∈ {x}
/
c
=⇒ x ∈ E ∧ x ∈ {x}
=⇒ x ∈ E

x ∈ E − {x} existeuna bola abierta B con centro en x sin puntos en com´n con E
/
u
entonces, B c es un conjunto cerrado tal que E ⊂ B c y x ∈ B c , esto significa que x ∈ E
/
Por lo tanto si x ∈ E =⇒ x ∈ E para todo x ∈ E , esto es que: E ⊂ E y por lo tanto
E = E es decir, el conjunto de todos los limites de subsucesiones de la suceci´n x(n)
o
forma un conjunto cerrado en el espacio m´trico M
e
√
4....