analisis matematico

Momentos, centros de masa y centroides

Masa

En este trabajo estudiaremos varias aplicaciones importantes de la integración relacionadas con la masa. La masa es la medida de la resistencia de un cuerpo a cambiar su estado de movimiento y es independiente del sistema gravitatorio particular donde se halle el cuerpo. No obstante hay tantas aplicaciones que involucran la masa de uncuerpo con su peso. Esto no es correcto. El peso es un tipo de fuerza y, como tal, depende de la gravedad. Fuerza y masa están relacionadas por la ecuación

Fuerza= (masa) (aceleración)

La tabla siguiente recoge algunas de las medidas de masas y de fuerza utilizadas con frecuencia, junto con sus factores de conversión.

Sistema de
medida
Medida de
masa
Medida de fuerza
U.S.
SlugLibra= (slug)(pie/s )
Internacional
Kilómetro
Newton= (kilogramo)(m/s )
C-G-S
Gramo
Dina= (gramo)(cm/s )









Ejemplo 1. Masa sobre la superficie de la tierra

Hallar la masa (en slugs) de un objeto cuyo peso al nivel del mar sea 1 libra.

Solución: Tomando 32 pies/s como aceleración de la gravedad, se obtiene

Masa= Fuerza/aceleraciónDebido a que muchas situaciones prácticas se producen en la superficie terrestre, esta cantidad de masa se llama libra de masa.



Centro de masa de un sistema unidimensional

Consideremos dos tipos de momentos de una masa: el momento respecto a un punto y el momento respecto a una recta. Para definirlos, consideremos la situación ideal de una masa m concentrada en unpunto (una masa "puntual”). Si x es la distancia de ese punto a otro punto P, el momento de m respecto al punto P es

momento= mx

y x es la longitud del brazo de momento.
El concepto de momento queda ilustrado con nitidez por un columpio (figura 1). Si un niño de 20 kg de masa se sienta a 2 m del punto de apoyo y el otro de 30 kg de masa se sienta a 2 m el lado opuesto, sabemos, porexperiencia, que el columpio girará de forma que el niño mayor baje al suelo. Esta rotación ocurre porque el momento producido por el niño de la izquierda es menor que el producido por el de la derecha.








Figura 1. El columpio se equilibra cuando los momentos a la derecha y a la izquierda son iguales.

Momento del niño de la izquierda= (20)(2)=40 kg-m
Momento del niño de la derecha=(30)(2)=60 kg-m

Para que el columpio se balancee, los dos momentos han de ser iguales. Por ejemplo, si el niño más pesado se sentara a 4/3 m del punto de apoyo, el columpio se balancearía, ya que cada uno de los niños produciría un momento de 40 kg-m.
Con el fin de generalizar estas consideraciones, introducimos una recta coordenada con el origen en el punto de apoyo (véase figura2). Supongamos varias masa colocadas en este eje x. la medida de la tendencia del sistema a girar en torno del origen es el momento respecto al origen, y se define con la suma de n productos m x .

M = m x + m x + … + m x






Figura 2. Si m x + m x + … + m x =0, el sistema esta en equilibro.

Si M es 0, se dice que el sistema está en equilibro.
Para un sistema que no esta enequilibro, el centro de masa se define como el punto x en el que habría que colocar el punto de apoyo para que el sistema alcanzase el equilibro. Si el sistema se traslada x unidades, cada coordenada x pasaría a ser (x - x), y como el momento del sistema trasladado sería 0, tenemos

 m (x - x)=  m x -  m x =0

Despejando x se obtiene

x= ( m x )/(  m)=(momento del sistema respectodel origen)/(masa total del sistema)

Si m x + m x + … + m x =0, el sistema esta en equilibro.




Ejemplo 2. Centro de masa de un sistema lineal

Hallar el centro de masa del sistema lineal de la figura 3.






Figura 3.

Solución: el momento respecto al origen es

M = m x + m x + m x + m x
= 10(-5) + 15(0) + 5(4) + 10(7)...