Pro 2 3

Introducci´
on a la programaci´
on lineal
La programaci´on lineal se aplica a modelos de optimizaci´on en los que las funciones objetivo y restricci´on son estrictamente lineales. La t´ecnica se aplica en una amplia variedad de
casos, en los campos de agricultura, industria, transporte, econom´ıa, salud, ciencias sociales
y de la conducta, y militar. Tambi´en produce algoritmos eficientes dec´omputo para problemas con miles de restricciones y variables. En realidad, debido a su tremenda eficiencia de
c´alculo, la programaci´on lineal forma la columna vertebral de los algoritmos de soluci´on para
otros modelos de investigaci´on de operaciones, como las programaciones entera, estoc´astica
y no lineal.
Este cap´ıtulo comienza con el caso de un modelo de dos variables, y presenta susoluci´on
gr´afica. Esta soluci´on gr´afica permite tener una perspectiva del desarrollo del m´etodo s´ımplex,
t´ecnica algebraica general. Tambi´en presenta ideas concretas para el desarrollo y la interpretaci´on de an´alisis de sensibilidad en programaci´on lineal.
´ LINEAL CON DOS VARIABLES
MODELO DE PROGRAMACION

Esta secci´on explicar´a la soluci´on gr´afica de una programaci´on lineal con dosvariables.
Aunque en la pr´actica casi no existen problemas con dos variables, la presentaci´on aportar´a
ideas concretas para el desarrollo del algoritmo de soluci´on general que se presentar´a en el
cap´ıtulo 3.
Ejemplo 2.1-1 (La compa˜
n´ıa Reddy Mikks)
Reddy Mikks produce pinturas para interiores y exteriores, M1 y M2. La tabla siguiente
proporciona los datos b´asicos del problema.

Materia prima M1Materia prima M2
Utilidad por Ton (miles de $)

Ton de materia prima de
Pinturas para Pinturas para
exteriores
interiores
6
4
1
2
5
4

m´axima
disponibilidad diaria
24
6

Una encuesta de mercado indica que la demanda diaria de pintura para interiores no
puede ser mayor que 1 tonelada m´as que la de pintura para exteriores. Tambi´en, que la
demanda m´axima diaria de pintura para interiores es de 2toneladas.
Reddy Mikks desea determinar la mezcla o´ptima (la mejor) de productos para exteriores
y para interiores que maximice la utilidad diaria total.
El modelo de programaci´on lineal, como en cualquier modelo de investigaci´on de operaciones, tiene tres componentes b´asicos.
1. Las variables de decisi´on que se trata de determinar.
2. El objetivo (la meta) que se trata de optimizar.
3. Lasrestricciones que se deben satisfacer.

1

La definici´on correcta de las variables de decisi´on es un primer paso esencial en el desarrollo
del modelo. Una vez hecha, la tarea de construir la funci´on objetivo y las restricciones se
hace en forma m´as directa.
Para el problema de Reddy Mikks, se necesita determinar las cantidades a producir de
pinturas para exteriores e interiores. As´ı, lasvariables del modelo se definen como sigue:
x1 = Toneladas producidas diariamente, de pintura para exteriores
x2 = Toneladas producidas diariamente, de pintura para interiores
Para formar la funci´on objetivo, la empresa desea aumentar sus utilidades todo lo posible. Si z representa la utilidad diaria total (en miles de d´olares), el objetivo de la empresa
se expresa as´ı:
Maximizar z = 5x1 + 4x2
Acontinuaci´on se definen las restricciones que limitan el uso de las materias primas y la
demanda. Las restricciones en materias primas se expresan verbalmente como sigue:
Uso de una materia Prima
para ambas pinturas

Disponibilidad m´axima
de materia prima

≤

Seg´
un los datos del problema,
Uso de la materia prima M1, por d´ıa = 6x1 + 4x2 toneladas
Uso de la materia prima M2, por d´ıa = 1x1 + 2x2toneladas
Ya que la disponibilidad de las materias primas M1 y M2 se limita a 24 y 6 toneladas,
respectivamente, las restricciones correspondientes se expresan como sigue:

6x1 + 4x2
x1 + 2x2

≤
≤

24
6

(Materia prima M1)
(Materia prima M2)

La primera restricci´on de la demanda indica que la diferencia entre la producci´on diaria
de pinturas para interiores y exteriores, x2 − x1 no debe ser...