Axiomatica

Teoría axiomática
1.1.

La Paradoja de Russell

El matemático alemán Georg Cantor desarrolló la teoría de conjuntos en
base a la siguiente denición, dada por él en 1895:

Se entiende por conjunto la agrupación en un todo de objetos bien
diferenciados de nuestra percepción o de nuestro pensamiento.
Así, en principio, se podría considerar el conjunto de todos los caballos blancos, o elconjunto de todos los triángulos equiláteros.
Pero esta noción tan amplia de conjunto lleva a paradojas, como lo demostró
el lógico inglés Bertrand Russell a principios del siglo XX. En efecto, la denición cantoriana permite concebir conjuntos que sean elementos de sí mismos: por
ejemplo, el conjunto de todas las ideas abstractas es una idea abstracta. Siguien-

ordinarios a los conjuntos queno son elementos de si
extraordinarios a los demás. Esto es, un conjunto X es ordinario si y

do a Russell, llamaremos
mismos, y

X ∈ X . De acuerdo con la denición
A de todos los conjuntos ordinarios.
Como A es un conjunto, deberá ser ordinario o extraordinario. Si A fuese ordinario, entonces debería ser A ∈ A, lo que signica que A sería extraordinario.
Luego no puede ser A ordinario.Pero tampoco puede ser extraordinario, pues si
A fuese extraordinario, entonces A ∈ A, y por lo tanto sería ordinario. En otras
palabras, hemos derivado la contradicción A ∈ A si y sólo si A ∈ A.
sólo si

X∈X

y extraordinario si y sólo si

de Cantor podemos considerar el conjunto

La noción cantoriana de conjunto está ligada a la noción de
una propiedad
satisfacen

P

P,propiedad: Dada

{x : P (x)} de los objetos que
conjunto C , le podemos asociar la

podemos formar el conjunto

(y, recíprocamente, dado un

propiedad pertenecer a

C ).

En 1908, en su trabajo sobre los fundamentos de la teoría de conjuntos, el
matemático alemán Ernest Zermelo señala que la paradoja de Russell muestra
que no es admisible asignarle a cualquier propiedad lógicamentebien denida
un conjunto como su extensión. Por lo tanto la denición original de Cantor
1

2

CAPÍTULO 1.

TEORÍA AXIOMÁTICA

debe restringirse, y como esta denición no ha podido ser reemplazada por otra
que sea igualmente simple y que no de lugar a paradojas, Zermelo concluye que:

Bajo estas circunstancias no nos queda en este punto más que proceder en la dirección opuesta y,partiendo del desarrollo histórico de la
teoría de conjuntos, buscar los principios requeridos para fundamentar esta disciplina matemática. Para resolver este problema debemos,
por un lado, restringir estos principios sucientemente para excluir
contradicciones y, por el otro, elegirlos sucientemente amplios para
retener todo lo de valor que tenga la teoría.
En otras palabras, para eliminar laparadoja, Zermelo propone considerar
como conjuntos sólo aquellos objetos que satisfagan las condiciones impuestas
por ciertos axiomas. El propósito de este curso es desarrollar esta idea.
Intuitivamente, podemos pensar que los conjuntos se van formando en etapas: para poder formar un conjunto, todos sus posibles elementos deben ya estar
denidos. Habría dos tipos de objetos: individuos(llamados

urelemente) y con-

juntos. En la etapa inicial sólo habría individuos. Los conjuntos de la primera
etapa estarían formados por individuos. Los de la segunda etapa, por individuos
y conjuntos de la primera etapa. En general, los conjuntos de una etapa estarían
formados por individuos y conjuntos denidos en etapas anteriores.
Vamos a considerar una teoría

pura

de conjuntos, estoes,

Entonces en la primera etapa tendremos el conjunto vacío
y el conjunto que tiene por único elemento al vacío

{∅},

∅,

sin individuos.
∅
∅, {∅},

en la segunda

en la tercera

{{∅}}, {∅, {∅}} y así siguiendo. De esta manera podemos concebir una colección
de objetos, que llamaremos el

U.

remos por

En

U

universo de la teoría de conjuntos y denotarelación de...