probabilidad distribución

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Se llama variable aleatoria a toda función que asocia a cada elemento del espacio
muestral E un número real. Una variable aleatoria discreta es aquella que sólo puede
tomar valores enteros (Por ejemplo: el número de aprobados en una determinada
asignatura). Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar todos
los valores posibles dentro de un ciertointervalo de la recta real (por ejemplo:
el peso de un determinado grupo de pacientes).
La Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X, es una
aplicación que asocia a cada valor de x i de la variable su probabilidad p i .
La Función de distribución de una variable aleatoria discreta es una
aplicación que asocia a cada valor de la variable aleatoria la probabilidad
acumuladahasta ese valor. Es decir: F(X)=P(X ≤ xi )
En el caso de variables aleatorias continuas tenemos que hablar de Función
densidad de probabilidad
Una distribución de probabilidad de una variable aleatoria X es el conjunto de pares
ordenados (X , f(X)) donde f(X) es la función de probabilidad de X (si X es discreta) o
función densidad de probabilidad de X (si X es continua). Una distribución deprobabilidad puede estar dada por una tabla, una gráfica o una expresión matemática
(fórmula) que da las probabilidades con que la variable aleatoria toma diferentes
valores.
1. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Un experimento sigue el modelo de la distribución binomial si:
1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A
(éxito) y su contrario
.
2. La probabilidad delsuceso A es constante, es decir, que no varía de una prueba a
otra. Se representa por p.
3. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos
anteriormente.
Variable aleatoria binomial: La variable aleatoria binomial, X, expresa el número de
éxitos obtenidos en cada prueba del experimento.
La variable binomial es una variable aleatoria discreta, por lo que, sihemos realizado n
pruebas, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n.
La distribución binomial se suele representar por B(n, p), donde:
- n es el número de pruebas de que consta el experimento.
- p(A)=p es la probabilidad de éxito.
- La probabilidad de
es 1− p, y la representamos por q.
La función de probabilidad viene dada por:

n
P ( X = k ) =   ⋅ p k ⋅ q n − k
k Donde:

n
k
p
q

es el número de pruebas
es el número de éxitos.
es la probabilidad de éxito.
es la probabilidad de fracaso

n

m

El número C
=   se llama también número combinatorio y se calcula:
m
n

m
m!
  =
;
 n  n!(m − n)!

con

m! = m ⋅ (m − 1) ⋅ ( m − 2) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅3 ⋅ 2 ⋅ 1

La media y la varianza de una distribución bnomial, se calculan:
•x = n⋅ p

•

σ2 = n⋅ p⋅q
EJERCICIOS

1º) Un examen consta de 10 preguntas a las que hay que contestar si o no. Suponiendo
que no se saben las respuestas y se contesta al azar, halla:
a) probabilidad de obtener 5 aciertos
b) probabilidad de obtener algún acierto
c) probabilidad de obtener más de 7 aciertos
Es una B(10, 0,5)
5

10   1   1 

5

10

10!  1 

a) p(X=5)=  ⋅   ⋅   =
⋅   = 0,244
 5   2   2  5!⋅5!  2 
b) 1-p(X=0)=0,9990
c) p(X>7)= p(X=8)+p(X=9)+p(X=10)
2º) El 53% de los trabajadores de una determinada empresa son mujeres. Si elegimos
8 personas de esa empresa al azar, calcula la probabilidad de que haya:
a) Alguna mujer.
b) Más de 6 mujeres.
Halla la media y la desviación típica.
a)
b)
c)

p(X≠0)= 1-p(X=0) = 1-0,478p(X>6)= p(X=7) +p(X=8)
µ=np=4,24; σ= n ⋅ p ⋅ q =1,41

3º) La probabilidad de que un determinado juguete salga defectuoso es de 0,03.
Calcula la probabilidad de que en un lote de 60 de estos juguetes haya:
a) Alguno defectuoso.
b) Menos de dos defectuosos.
c) Halla la media y la desviación típica.
Solución:
Si llamamos x = "nº de juguetes defectuosos en un lote", se trata de una...