Probabilidad Y Propiedades

DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD
Informalmente suele definirse la probabilidad a partir de tres enfoques:
1. Enfoque subjetivo
Desde este punto de vista la probabilidad puede interpretarse como “ El grado de creencia” que una persona tenga acerca de la ocurrencia de un suceso. De aquí que desde la óptica de este enfoque personas distintas podrán asignar probabilidades distintas al mismo suceso.Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que llueva hoy?
¿Cuál es la probabilidad de que la selección Colombia de mayores clasifique al próximo mundial?
2. Enfoque frecuencialista
La probabilidad desde el enfoque frecuencialista se basa en el modelo conceptual de la repetición del experimento aleatorio, y se establece de la siguiente manera “sí un experimento se repite un número grande de veces,digamos n y sucesos a ocurren m veces se establece que la probabilidad de que ocurra A es m/n.
3. Enfoque clásico
Bajo este enfoque se considera que los resultados de un experimento aleatorio son igualmente probables.
Definición:
La probabilidad de un evento a es igual al co
ciente entre el número de resultados favorables al evento A entre el número de casos posibles a ese evento. Se denota conP(A).
Luego:
P(A)=(Número de casos favorables al evento A)/(Número de casos posibles del experimento)=n(A)/n(S)
Donde: n(A)= Número de casos favorables al evento A.
n (S)= Número de elementos del espacio muestral asociado al experimento.
1. Ejemplo:
Calculemos la probabilidad del evento A= observar cara al lanzar una moneda una sola vez.
Solución:
Sabemos que:
S={c,s}→n(S)=2
A={c}→n(A)=1Luego:
P(A)= n(A)/n(S) =1/2
2. Ejemplo: Calculemos la probabilidad del evento B: Observar un número par al lanzar un dado una vez.
Solución:
Se sabe que:
S = {1,2,3,4,5,6}→n(S)=6
B={2,4,6}→n(B)=3
Luego:
P(B) =n(B)/n(S) =3/6=1/2
3. Ejemplo:
Suponga que 5 de los 20 micro-chips que sido elaborados por una maquina en un día son defectuoso si se selecciona al azar uno de estos micro-chips,calcula la probabilidad del evento D: el micro-chips sale defectuoso.
P(D) =n(D)/n(S) =5/20=1/4
4. Ejemplo:
Un grupo de 7 personas está conformado por 4 hombres y 3 mujeres. Se selecciona al azar un comité de 4 personas, calcula la probabilidad de que resulten seleccionados dos hombres y dos mujeres. (se supone que todas las personas tienen la misma probabilidad de ser seleccionadas).Solución:
Sea el evento A: se seleccionan 2 hombres y 2 mujeres.
n(A)=(4¦2).(3¦2)=6x3=18 n(S)=(7¦4)=35 Luego P(A)=18/35

AXIOMAS DE LA PROBABILIDAD
El desarrollo de la teoría axiomática de probabilidades se debe en gran parte al matemático Ruso Andrej N Kelmegerev, quien por el año 1933, recoge y le da una fundamentación matemática a todo un cúmulo de teorías sobre laprobabilidad que eran temas de discusión en ese momento. En su forma más simple, la teoría axiomática de la probabilidad asocia a cada evento A, un número que escribimos como P(A), llamado la probabilidad del evento A, y tal que:
1. P(A)>0 para cualquier evento A.
2. P (S) = 1
3.P(AUB)= P(A) + P(B) si A y B son eventos mutuamente excluyentes.

El axioma 3 se puede extender a una sucesión deeventos así:
Sí A1, A2, A3…, An son eventos mutuamente excluyentes, entonces:
P(A1 UA2UA3U…UAn) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An)
Con base en los tres axiomas podemos deducir varias propiedades de las probabilidades que son útiles en la solución de problemas:

PROPIEDAD 1: p (∮)=0

Es decir la probabilidad del evento imposible es cero.
Demostración:
S U ∮ = S
P (SU∮)=P(S)
P(S)+P(∮)=P(S) (Axioma 3)1 + P (∮) = 1
P (∮)= 0

PROPIEDAD 2: 0≤ P(A) ≤1
Es decir que la probabilidad de cualquier evento es un número entre cero y uno.

PROPIEDAD 3: P ( A’ ) = 1 – P(A)
Es decir que la probabilidad del evento complementario A’ es igual a 1 menos la probabilidad del evento A.

DEMOSTRACIÓN:
A U A’ = S
⟹ P (P U A’) = P(S)
⟹ P (A) + P (A’) =1
⟹ P (A’) =1 - P (A)

PROPIEDAD 4:...