Probabilidad

VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA UNIDIMENSIONAL
Definición
La expresión de E(X) en el caso que X sea una v.a. discreta, este valor es la media ponderada de los posibles valores que puede tomar la variable X, en donde los pesos o ponderaciones son las probabilidades, , de ocurrencia de los posibles valores de X. Luego el valore esperado de X se interpreta como una media ponderada delos posibles valores de X, y no como el valor que se espera que tome X, pues puede suceder que E(X) no sea uno de los posibles valores de X. En el caso de v.a. continua, E(X) nos indica el centro de la función de densidad, es decir, nos indica el centro de gravedad de la distribución.
Sea X una v.a. de tipo discreto, con función de probabilidad P(xi), y sea g(X) una función de la v.a. X, entoncesdefinimos E[g(X)] como:
Si la v.a. X es de tipo continuo, con función de densidad f(x), entonces definimos el valor esperado de g(X), E[g(X)] como:
PROPIEDADES:
1. La esperanza de una constante es la propia constante. Es decir si K es una constante entonces:
2. MOMENTOS DE UNA VARIABLE ALEATORIA UNIDIMENSIONAL
Los momentos nos proporcionan información sobre las propiedades de ladistribución de la variable aleatoria. Nos permitirán hacer comparaciones de dos distribuciones y determinar cuál es más dispersa respecto a la media, o cuál es más apuntada, etc. Proporcionan valores numéricos sobre características de la distribución de una v.a.
 
Definición
Sea X una v.a. y r un número entero positivo. Se define el momento de orden r de X, y se notará por αr como:
 
DefiniciónSea X una v.a. y r un número entero y positivo. Se define el momento central de orden r de X, y se notará por μr como:
En ambos casos los momentos se definen como valores esperados, luego para que existan los momento tendrán que existir los correspondientes valores esperados .
Los momentos, si existen, son números calculados como sumas o integrales, dependiendo de si se trata de v.a.discretas o continuas, de forma que se puede escribir el momento de orden r, como:
Y el momento central de orden r será:
 
Caso especial:
Con lo que el momento central de orden r, se puede expresar:
Nota: En la definición del momento central de orden r, indicamos desde r = 2,3,..., ya que el momento central de orden uno es igual a cero, μ1 = 0.
3. VARIANZA
Es una medida de dispersión delos valores de la variable respecto de su media, y nos permite conocer el grado de dispersión de los valores de la distribución, pudiendo realizar comparaciones con otras distribuciones. También se puede utilizar como una cierta medida de cómo representa la media a la distribución.
La varianza se expresa en las mismas unidades que la variable X, pero al cuadrado. La desviación estándar odesviación típica (raíz cuadrada positiva de la varianza ), se expresa en las mismas unidades de medida que la variable X. Se notará por .
4. COEFICIENTE DE VARIACIÓN
La varianza es una medida de dispersión que está influenciada por el tamaño de los valores de dicha variable y por la media. Para evitar esta influencia damos una medida relativa de dispersión que exprese la dispersión de la variablerespecto del tamaño de la variable, midiendo el tamaño de la variable por su valor esperado. Esta medida de dispersión es el coeficiente de variación:
Este coeficiente de variación expresa la dispersión de una v.a. respecto a su media y es muy útil para comparar dos distribuciones de probabilidad.
El coeficiente de variación no tendrá sentido cuando la variable X tome valores positivos y negativos(pues puede ocurrir que la media quede compensada por los valores positivos y negativos y no refleje el tamaño de X). Con lo que el coeficiente de variación sólo tendrá sentido cuando X sea una variable que tome sólo valores positivos.
Valor esperado de una variable
             Supongamos que hemos realizado n veces un experimento aleatorio que genera una variable X. El valor medio del...