probabilidad

Probabilidad y Estad´
ıstica Elementales
para Estudiantes de Ciencias
Ricardo A. Maronna
Facultad de Ciencias Exactas
Universidad Nacional de La Plata

Prefacio
“Es magn´fico aprender con quien no sabe.”
ı
Mario Benedetti: “Gracias por el Fuego”
Este libro es una introducci´n a las ideas b´sicas de la Teor´ de Probabilidad y la Eso
a
ıa
tad´
ıstica, destinado a estudiantes deCiencias Exactas, Inform´tica e Ingenier´ con un
a
ıa,
´
buen conocimiento de An´lisis de una variable y de Algebra elemental, y algunas nociones
a
de An´lisis de varias variables. He procurado enfatizar la forma correcta de encarar los
a
problemas, ya que muchos a˜os de ense˜anza y de pr´ctica me han convencido de la inun
n
a
tilidad de las recetas, y de que lo unico que realmente sirve esla correcta percepci´n de los
´
o
problemas y de las posibles v´ de acci´n.
ıas
o
La Teor´a de Probabilidad tiene la enga˜osa caracter´stica de que resultados intuitiı
n
ı
vamente plausibles tienen demostraciones que requieren conocimientos avanzados de Matem´tica
a
(la llamada “Teor´a de la Medida”). En este libro he procurado seguir un camino intermeı
dio, demostrando lo que se puedaprobar a nivel elemental, e indicando los casos en que
esto no es posible.
Los ejercicios son una parte importante del curso: contienen ejemplos y material complementario, y, especialmente, sirven para que el lector compruebe su comprensi´n de la
o
teor´a, y desarrolle su habilidad para pensar correctamente por su cuenta, lo que debiera
ı
ser el objeto ultimo de toda ense˜anza.
´
n
Estelibro es el resultado de muchos a˜os de ense˜ar Probabilidad y Estad´
n
n
ıstica, en las
Universidades Nacionales de Buenos Aires y de La Plata, y en la E.S.L.A.I. (Escuela Superior Latinoamericana de Inform´tica), cuyos alumnos han contribuido con sus comentarios
a
–no siempre elogiosos– al mejoramiento de mis cursos.
Abreviaturas: El s´mbolo “ ” se usar´ para indicar el fin de unademostraci´n. Los
ı
a
o
n´meros entre corchetes (como “[8]”) indican las referencias bibliogr´ficas al final del libro.
u
a
Un asterisco (*) indica las secciones que se pueden omitir sin afectar la continuidad de la
lectura.
Dedico este libro a Susana Estela, Liliana Litvin y Rosa Wachenchauzer, que siempre
me han impulsado a dar un paso m´s adelante.
a
La Plata, Octubre de 1995.

i

iiIndice
I

PROBABILIDAD

1

1 Espacios de Probabilidad
1.1 Los axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Experimentos con resultados equiprobables . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3
3
6
9

2 Probabilidad Condicional e Independencia
2.1 Relacionesentre dos eventos . . . . . . . . . . . .
2.2 Modelos basados en probabilidades condicionales
2.2.1 Un modelo para tiempos de espera . . . .
2.3 Independencia de varios eventos . . . . . . . . . .
2.4 El esquema de Bernouilli . . . . . . . . . . . . . .
2.5 La aproximaci´n de Poisson y sus aplicaciones . .
o
2.5.1 El proceso de Poisson espacial . . . . . . .
2.5.2 El proceso de Poissontemporal . . . . . .
2.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

13
13
15
16
18
19
21
21
22
24

3 Variables Aleatorias
3.1 Distribuciones . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Distribuciones discretas . . . . .
3.1.2 Distribuciones continuas . . . . .
3.1.3 Mezclas . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Transformaciones de variables...