probabilidad

Estad´
ıstica Aplicada: ”Did´ctica de la Estad´
a
ıstica y M´todos Estad´
e
ısticos en Problemas
Socioecon´micos”
o
VII Coloquio Regional de Estad´
ıstica
XII Seminario de Estad´
ıstica Aplicada IASI
III Escuela de Verano CEAES
Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´
ın. Medell´
ın, 20-23 de Julio de 2010

Comparaci´n de Intervalos
o
de Confianza para el
Coeficiente deCorrelaci´n
o
Juan Carlos Correaa , Liliana Vanessa Pachecob
Email: jccorrea@unal.edu.co

a. Universidad Nacional-Sede Medell´
ın
b. Universidad Nacional-Sede Medell´
ın

Resumen
La construcci´n de intervalos de confianza para la estimaci´n de la correlaci´n
o
o
o
en la distribuci´n normal bivariable, digamos ρ, es un problema importante en
o
el trabajo estad´
ıstico aplicado.Revisamos diferentes procedimientos para su
construcci´n y realizamos un estudio de simulaci´n para analizar el
o
o
comportamiento de los niveles de confianza reales y compararlos con los
te´ricos.
o

Estad´
ıstica Aplicada: ”Did´ctica de la Estad´
a
ıstica y M´todos Estad´
e
ısticos en Problemas
Socioecon´micos”
o
VII Coloquio Regional de Estad´
ıstica
XII Seminario de Estad´
ısticaAplicada IASI
III Escuela de Verano CEAES
Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´
ın. Medell´
ın, 20-23 de Julio de 2010

Comparison of Confidence
Intervals for the Correlation
Coefficient
Juan Carlos Correaa , Liliana Vanessa Pachecob
Email: jccorrea@unal.edu.co

a. Universidad Nacional-Sede Medell´
ın
b. Universidad Nacional-Sede Medell´
ın

Abstract
Estimation of thecorrelation coefficient of a bivariate normal distribution
using confidence intervals is a common procedure in the statistical practice.
We propose a new confidence interval based on relative likelihood and compare
it with the Fisher’s formula and bootstrap via simulation.

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a
ıstica y M´todos Estad´
e
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Socioecon´micos”
o
VIIColoquio Regional de Estad´
ıstica
XII Seminario de Estad´
ıstica Aplicada IASI
III Escuela de Verano CEAES
Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´
ın. Medell´
ın, 20-23 de Julio de 2010

0.1.

Introducci´n
o

El coeficiente de correlaci´n es una de las medidas estad´
o
ısticas de m´s uso dentro
a
del trabajo aplicado. Algunas de sus propiedades fueron estudiadas por Zhengy Matis (1993). Discusi´n sobre sus interpretaciones puede hallarse en Falk y
o
Well (1997). La estimaci´n del coeficiente de correlaci´n por medio de intervalos
o
o
es importante, y para ello se disponen de diversos m´todos. El problema para el
e
analista es la carencia de reglas sobre cu´l f´rmula es preferible. Para esto hemos
a o
realizado un estudio de simulaci´n que nos permiteanalizar el comportamiento
o
de los niveles de confianza reales y compararlos con los te´ricos de los diversos
o
intervalos disponibles.
Asumamos que (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ) es una muestra aleatoria de una
normal bivariable con vector de medias µ y matriz de varianzas y covarianzas
Σ. El estimador m´ximo veros´
a
ımil para ρ es (Graybill, 1976):
n

(xi − x)(yi − y )
¯¯
R=

i=1
n



1/2

n
2

(xi − x)
¯



i=1

(yi −

y )2 
¯ 

i=1

y el estimador UMVU (uniformly minimum variance and unbiased) de ρ es:
ρ=R
ˆ

Γ( n−2 )
2
1
Γ( 2 )Γ( n−3 )
2

1
0

1

t− 2 (1 − t)

(n−2)
2

1 − t(1 − R2 )

dt

La f.d.p de R es:
fR (r) =

(n − 2)(1 − ρ2 )
π

(n−2)
2

(1 − r2 )

∞

(n−4)
2

(cosh w − ρr)−(n−1) dw0

donde −1 < r < 1 y −1 < ρ < 1. El unico par´metro de la distribuci´n es ρ.
´
a
o

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