Probabilidad

Curs d’estiu de Matemàtiques.
Agost 2010.
Combinatòria, probabilitat, probabilitat condicionada, Bayes, Markov, Txebixev, variable aleatòria, funcions de densitat i distribució, distribucions discretes i contínues famoses, variable aleatòria bivarant
Enunciats: (es recomana fer els exercicis en desordre)
1. Un barman disposa de 10 begudes per fer còctels. Si un còctel té entre 2 i 3ingredients, quants còctels diferents pot preparar?

Quants coctels diferents = C210 + C310 = ( 10! / 2! 8! ) + ( 10! / 3! 7! ) = 45 + 120 = 165

2. Quant números de 4 xifres existeixen tals que almenys dues d’elles siguin iguals?

P( x >= 2iguals ) =

3. Considereu la línia d’autobusos Lleida – Barcelona – Lleida. Si l’autobús s’atura a 10 estacions i al bitllet hi consta l’estaciód’origen i l’estació de destí, quants bitllets diferents s’hauran d’imprimir?

4. qual més triga a caure a terra. La dinàmica del joc consisteix en 4 persones llançant simultàniament la pedra i un jutge anota l’ordre de caiguda de cadascuna.
a) Si el jutge no té cap mitjà tecnològic al seu abans, podria ser que percebés que 2 o 3 o 4 pedres han tocat al terra simultàniament. Llavors, dequantes maneres diferents podrien arribar les pedres a terra?
b) Suposa que el jutge pot gravar la caiguda de les pedres i posteriorment discernir exactament quina ha tocat el terra primer. Llavors, de quantes maneres diferents podrien arribar les pedres a terra?

5. Considera el joc de daus següent. Apostem K diners a un número. El dau es tira tres cops. L’apostant rep la quantitat apostadatantes vegades com surti el número triat. Quin és el guany esperat?

6. Considera tres cartes. Una d’elles té un escut del Barça a cada cara, una altra té un escut del Lleida a cada cara i la tercera té un escut del Barça en una cara i un del Lleida a l’altra. Posem les tres cartes en una capsa. Traiem una carta i fem visible només una cara.
Barça |
Lleida |
Lleida |
Lleida |
Barça|
Barça |

a. Quina és la probabilitat que tingui un escut del Barça a la cara visible?

P(Barça)= 3/6 = 1/2

b. Si a la cara visible hi ha un escut del Lleida, apostaries a que a la cara no visible hi ha també un escut del Lleida?

P(Lleida/LLeida) = 1/3 / 1/2 = 1/3

7. Suposeu que en una Universitat hi ha tres professors (A, B i C) de matemàtiques. Un d’ells dona dos grups,i els altres dos un grup cadascú. A partir dels resultats d’anys anteriors se sap que la probabilitat d’aprovar amb el primer professor és 0.4, amb el segon 0.3 i amb el tercer 0.25. Un alumne es assignat a un grup aleatòriament.

a. Calculeu la probabilitat que té un alumne d’aprovar

P(Aprovar/A) = 0’4 P(Aprovar/B) = 0’3 P(Aprovar/C) = 0’25
P(A) = 2/4 P(B) = 1/4 P(C) = 1/4P(Aprovar)= P(Aprovar/A) P(A) + P(Aprovar/B) P(B) + P(Aprovar/C) P(C) =0,3775

b. Calculeu la probabilitat que un alumne aprovat hagi tingut com a professor el B

P(B/aprovar) = P(Aprovar/B) P(B) / P(Aprovar) = 0’22

8. Un professor realitza un control de matemàtiques a classe. Un cop corregit, publica les estadístiques següents:

Qualificació | Nombre d’alumnes |
Insuficient (4) | 13 |Suficient (5) | 7 |
Bé (6) | |
Notable (8) | 3 |
Excel·lent (9) | 2 |
MH (10) | 1 |
Esperança de la nota | 5.4333 |

Variancia?
E(x2)-[E(x)]2
E(x)= 5,4333= 4*13+5*7+6*n-26+8*3+9*2+10 / n => 7n = 139/ 5,4333
9. Sigui X una v.a. que mesura la nota de matemàtiques dels alumnes d’una classe. Sabem que la mitjana és 5.2 i la desviació típica és 1.5. Quina percentatge màximd’alumnes ha tret més d’un 7? (Si et cal, pots suposar que la distribució de notes és simètrica al voltant de la mitjana).

7
5’2
3,4
Calcula la variància de la mostra.

1’8
1’8
P(|x-5’2|<1’8)>= 1 – 1/t2
0’35
0’3

0’35
Tr = 1’8
T = 1’8/1’5 = 1’2 1 -1/1’22=0’30

10. Un alumne de matemàtiques té el costum d’estudiar només el 60 % del temari per presentar-se a...