Probabilidad

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Probabilidad condicional Teorema de Bayes

1.- Probabilidad Condicional
Sea B un evento arbitrario de un espacio muestral S con P(B ) >0 . La
probabilidad de que un evento A suceda una vez que a ocurrido B ( o en otras
palabras , la probabilidad condicional de A dado B, la denotaremos por P(A/B)y
viene dada por
P(A Ï B) =

T ÐEFÑ
T ÐFÑ

œ

#ÐEFÑ
#ÐFÑ

Obsevación.- En cierto sentido P(A/B) mide la probabilidad relativa de A en el
espacio reducido de B. En particular , si S es un espacio finito equiprobable y
#(A) denota el número de elementos de un evento A.
Teorema 1.- Sea S un espacio finito equiprobable con eventos A y B,
entonces
P(A Ï B) =

número de elementosde ÐEFÑ
número de elementos de B

P(A Ï B) =

número de maneras en que A y B pueden suceder
número de maneras en que B puede suceder

Ejemplo 1.- En el caso de lanzar dos dados corrientes. Si la suma es 5 , hallar la
probabilidad de que uno de los dados sea 2; luego se tiene:
B = ˜suma 5™ = ˜(1,4) (2,3)(3,2)(4,1)™
A = ˜un 2 aparece por lo menos en un dado™

Como se vé, B consta decuatro elementos y dos de ellos,
pertenecen a A; ÐE  FÑ = ˜ (2,3), (3,2)™ entonces
P(A Ï B) =

#
4=

(2,3) y (3,2),

0.5

Ejercicio # .- Calcular P(B Ï A)
Probabilidad condicional y eventos independientes (no equiprobables)
Ejemplo.- En un estudio reciente realizado a estudiantes de primer año de una
Universidad, se determinó que de los 2000 1050 eran hombres y 950 mujeres, ,
20mujeres y 10 hombres eran diabéticos. Dado que un estudiante elegido al
azar de este grupo sufre diábetes. ¿Cuál es la probabilidad que sea mujer?

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Probabilidades Condicional - T. Bayes
1
Dra. Ing. Teresa Brand Domínguez

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA SEDE SAN IGNACIO______________________________________________________________________________________________

Sea D el evento de que un estudiante elegido al azar sea diabético y sea F el
evento de que el estudiante sea del sexo femenino, entonces
P(D) =

$!
#!!!

œ 0.015

luego la probabilidad de que sea mujer dado que es diabética viene dada por:
P(F Ï D) =

T ÐJ HÑ
T ÐHÑ

œ

#!
#!!!
$!
#!!!

#
$œ

œ

!Þ!"
!Þ!"&

œ !Þ'''''''

Aplicando la Regla de la multiplicación para la Probabilidad condicional
Como se sabe
P(A Ï B) =
como

T ÐEFÑ
T ÐFÑ

P(A Ï B) * P(B) = P(A  B)

, entonces

(A  B) = (B  A) se obtiene el siguiente teorema

Teorema 2.P(B  A) = P(B)* P(A Ï B) , este teorema puede extenderse por
inducción matemática
Corolario 2.1.- Para los eventos A" ß E# ßÞÞÞ ß E8
T ÐA"  E#  ÞÞÞ  E8 Ñ = P(A" чP (A# Ï E" )‡P (A3 Ï E"  A# )‡

ÞÞÞ ‡ P (A8 Ï E"  A#

ÞÞÞ  A8" Ñ

Ejemplo.- Un lote de 20 artículos tiene 5 defectuosos. Se toman al azar tres
artículos del lote uno tras otro. Hallar la probabilidad : de que los tres artículos
sean buenos
:=

"& "% "$
#! ‡ "* ‡ ")

œ

%&&
""%!

Ejercicio 1 .- Los estudiantes de una clase se escogenal azar, uno tras otro,
para presentar un examen. Hallar la probabilidad : de que niños y niñas queden
alternados si, (i) la clase consta de 4 niños y 3 niñas, (ii) la clase consta de 3
niños y 3 niñas.
( 3)
Ð33Ñ

: = %‡$‡$‡#‡#‡"‡" œ
('&%$#"

"
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si el primer estudiante es un niño : = $ ‡ $ ‡ # ‡ # ‡ " ‡ " œ
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si el primer estudiante es una niña
luego : œ :"  :# œ

"
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'&%$#"

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#!

"
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Ejercicio 2.- Supongamos que se sabe que un conjunto de 10 partes de repuesto
contiene ocho partes aceptables (A) y dos partes defectuosas (D)....