probabilidad

Sesión 9

Tema: Distribución binomial.
I.

Objetivos de la sesión: conocer los conceptos básicos para iniciar el
tema de estadística descriptiva.

II.

Tema:

La distribución binomial es una función de probabilidad aplicada a variable
discreta, que cumplan algunas características en particular.
El proceso Bernoulli se aplica cuando una variable tiene solo dos posibles
resultados:éxito o fracaso. Estos dos resultados son mutuamente excluyentes.
Se considera una distribución binomial como n repeticiones de un proceso
del Bernoulli.
Por ejemplo, si se lanza una no carga, sus dos posibles resultados son cara
o sello. Si el evento a medir es el que al lanzarla salga cara, su resultado es éxito
(si sale cara) o fracaso (si sale sello).
Cuando este proceso se repite n vecesy se cuenta la cantidad de veces que
resultó el éxito en las n repeticiones, estamos frente a una distribución binomial.
Si x es una variable que se define como binomial, entonces ella cumple las
siguientes características:
a) x es el número de veces que sucede el éxito en n repeticiones.
b) En cada repetición se miden dos resultados: éxito o fracaso.
c) El rango de x varía entre cero y n,ya que puede suceder que en las n
repeticiones no ocurra nunca el éxito o por el contrario, en las n repeticiones
ocurre el éxito la totalidad de las veces.
d) La probabilidad de que suceda éxito es constante en cada repetición.
e) Los ensayos son independientes.

Su función de probabilidad es:

P( x

k)

§n· k
¨¨ ¸¸ ˜ p (1  p ) n  k
©k ¹

Donde n: es el número de repeticiones deen experimento.
k: es el número de veces que queremos que suceda éxito
P: es la probabilidad de éxito en una repetición
Como toda función de probabilidad, tiene una esperanza y varianza. Ella se
calcular como:
E(x) = np
V(x) = np (1- p)
Ej.1: Si una maquina herramienta desgastada produce 1% partes defectuosas y
las partes producidas son independientes, entonces el número promedio departes
defectuosas en una muestra de 25 es:
E ( x)

25(0.01)

0.25

La varianza del número de partes defectuosas es:

V ( x)

25(0.01)(0.99)

0.2475

Ej. 2: Si se lanza una moneda 10 de veces. ¿Cuál es la probabilidad que salga
cara 6 veces?
Solución.
Sea x = número de veces que sucede cara.
n = 10
k=6
p = 0,5 (probabilidad de cara)
rango de x = 0,1,2,3...10
Podemos ver que lavariable cumple las características de una distribución
binomial, por tanto, se usa su función para resolver el problema.

P( x

6)

§10 ·
¨¨ ¸¸(0,5) 6 (1  0,5) 4
©6¹

§10 ·
Donde ¨¨ ¸¸ es un factor combinatorio que se calcula a través de factoriales.
©6¹
P( x

6)

10!
(0,5) 6 ˜ (1  0,5) 4
6!(10  6)!

P( x
P( x

6)
6)

210(0,5) 6 ˜ (1  0,5) 4
0,205

Entonces, laprobabilidad que salga cara6 veces al lanzar al moneda 10
veces es 0.205 o lo mismo que decir, el 20.5% de posibilidades.
Usando el mismo ejemplo, supongamos que la pregunta hubiera sido ¿cuál es la
probabilidad de que al lanzar la moneda 10 veces, salga cara, a lo más tres
veces?
Se pide calcular P(x d 3),esto es , la probabilidad acumulada.
La función acumulada de esta distribución es:
jP( x d j )

§n·

¦ ¨¨ k ¸¸ p
k 0

© ¹

k

(1  p ) n  k

Que es lo mismo que:

En el ejemplo:

P( x d j )

P( x

0)  P ( x  1)  P( x

P( x d 3)

P( x

0)  P( x 1)  P( x

2)  ...P( x

2)  P( x

j)

3)

Donde:
§10 ·
¨¨ ¸¸(0,5) 0 (1  0,5)100 0,00097
©0¹
§10 ·
P( x 1) ¨¨ ¸¸(0,5)1 (1  0,5)101 0,0097
©1¹
§10 ·
P( x 2) ¨¨ ¸¸(0,5) 2 (1  0,5)102 0,0439
©2¹
P( x

0)

P( x

3)

§10 ·
¨¨ ¸¸(0,5) 3 (1  0,5)103
©3¹

0,1172

Efectuando la suma de cada una de las probabilidades, resulta:
P(x d 3) = 0,17177
El 17.177% de posibilidad que en 10 lanzamientos de la moneda, salgan
cara a lo mas 3 veces.
El cálculo de una probabilidad acumulada resulta larga si se hace a través de
los cálculos individuales como se mostró en...