Probabilidad

1

Apuntes de la asignatura ESTAD´ ISTICA

Titulaci´n: Ingenier´ de Telecomunicaciones o ıa Centro: Escuela Polit´cnica Superior e Departamento: Matem´ticas a Autor: Angel Blasco

Tema 1 PROBABILIDAD
1.1. Experimentos aleatorios y sucesos

Un experimento aleatorio es aquel en el que no somos capaces de predecir con seguridad el resultado. A cada uno de los posibles resultados de talexperimento se le denomina suceso elemental. El conjunto de todos los sucesos elementales asociados a un experimento es el espacio muestral, que denotaremos por Ω. Ejemplo 1.1. En el experimento aleatorio de tirar un dado el espacio muestral ser´a Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Cualquier suceso referente al ı resultado del experimento se obtiene mediante acumulaci´n de sucesos o elementales. Por ejemplo elsuceso A ≡ {que salga un n´mero par} = {2, 4, 6} u El conjunto de todos los sucesos, elementales y no elementales, asociado a un experimento aleatorio se denomina espacio de sucesos. Nosotros lo denotaremos por A. Obs´rvese que, seg´n lo dicho, todo e u suceso debe ser siempre un subconjunto de Ω y por tanto ocurrir´ A ⊆ a P(Ω). De hecho, nosotros trabajaremos siempre con A = P(Ω). Seg´n lo dicho,todo suceso es un conjunto y por tanto podemos u aplicar sobre ellos todas las operaciones que conocemos de la teor´ de ıa
2

TEMA 1. PROBABILIDAD

3

conjuntos. Dados dos sucesos A, B ∈ A tenemos: Suceso uni´n (A ∪ B). Ocurre cuando ocurren A o B, pero no o necesariamente ambos a la vez. Suceso intersecci´n (A∩B). Ocurre cuando ocurren ambos sucesos, o A y B. Suceso complementario (Ac ).Ocurre cuando no ocurre A. Resta de sucesos (A\B). Ocurre cuando ocurre A pero no ocurre B.

1.2.

Definici´n de probabilidad o

Existe diversas definiciones de probabilidad que ofrecen puntos de vista interesantes. Veamos algunas de ellas: a) Definici´n subjetivista. Esta es la definici´n que podr´ o o ıamos encontrar en un diccionario: La probabilidad de un suceso es el grado de certeza quetenemos de que ese suceso va a ocurrir. Esta definici´n es interesante para saber de qu´ estamos hablando o e pero tiene el problema de que, como su nombre indica, es subjetiva ya que el “grado de certeza” al que hace referencia puede variar de una persona a otra. Necesitamos un modo de medir dicha certeza que sea objetivo y v´lido para cualquier persona. a o o a b) Definici´n frecuentista (VonMises). Esta es la definici´n cl´sica de probabilidad y est´ basada en el concepto de frecuencia. Cuando a repetimos n veces un experimento se define la frecuencia absoluta del suceso A (que denotaremos por nA ) como el n´mero u total de veces que ha ocurrido dicho suceso. A su vez, se define la n frecuencia relativa de A (fA ) como la proporci´n de veces que o ocurre A, es decir: nA n fA = n

TEMA 1.PROBABILIDAD

4

Von Mises observ´ que si repet´ un experimento muchas veces, o ıa siempre en las mismas condiciones, las frecuencias relativas de los distintos sucesos tend´ a estabilizarse en unos valores concreıan tos. Estableci´ como premisa que esto era as´ siempre y defini´ la o ı o probabilidad de un suceso como el l´ ımite de su frecuencia relativa cuando el n´mero de repeticiones delexperimento tend´ a infinito, u ıa es decir: P (A) = l´ fA ım n
n→∞

o o c) Definici´n de Laplace. Esta definici´n proporciona una regla de c´lculo que puede resultar muy util en determinadas ocasiones. a ´ Dado un experimento aleatorio y un suceso A, Laplace denominaba casos posibles a todos los sucesos elementales del experimento y casos favorables a aquellos que estaban incluidos en A. A partirde aqu´ defin´ la probabilidad de A como: ı, ıa P (A) = n´mero de casos favorables u n´mero de casos posibles u

Esta definici´n encierra tambi´n un problema y es que parte de la o e premisa de que todos los sucesos elementales (casos posibles) son equiprobables, en caso contrario la f´rmula pierde su validez. o d) Definici´n axiom´tica (Kolmogorov). Si bien todas las definiciones o a anteriores...